2022-2023安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（ ）
A． B．3 C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=40°，则∠CDA的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
6．如图，A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=（ ）
1 / 29
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，反比例函数y1=与一次函数y2=ax+b交于点（4，2）、（﹣2，﹣4）两点，则使得y1＜y2的x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜﹣2或x＞4
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
8．根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ） x y
… …
﹣1 4
0 ﹣0.5
1 ﹣2
2 ﹣0.5
… …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点
9．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A．m=﹣1
B．m=3
C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
10．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（ ）
2 / 29
A．AE=5
B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11．若
=，则= ．
12．已知线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′= ． 13．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
14．如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，现有以下结论：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④当AB=AM=BN=1．其中结论正确的是 ．
时，
三、解答题（共9小题，共90分） 15．求值：
cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°．
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5）
3 / 29
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．
18．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长．
19．已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，连接OA，BD． （1）若AE=
，DE=1，求OA的长．
（2）若OA∥BD，则tan∠OAE的值为多少？
4 / 29
20．如图，根据道路管理规定，直线l的路段上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距离直线l的距离MN为30米（如图所示），现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长；
（2）通过计算判断此车是否超速．（
≈1.4，
≈1.7）
21．如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．
22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长度为 m； （2）设OB=x，四边形OBDG的面积为ym2，
①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
②设①②③这三块区域的面积分别为S1、S2、S3，若S1：S2：S3=3：2：1，求GE：ED：DC的值．
5 / 29
23．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF GH；（填“＞”“=”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：
=
；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求
的值．
6 / 29
2022-2023安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 故选D．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：A．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（ ）
7 / 29
A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴
，即
，
解得：EC=2， ∴AC=AE+EC=4+2=6； 故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质． 【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案． 【解答】解：如图：作PC⊥y轴于点C，
，
tanα==，
故选A．
8 / 29
5．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=40°，则∠CDA的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，利用互余得∠COD=50°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得∠ODA=COD=25°，然后计算∠ODC+∠ODA即可． 【解答】解：连接OD，如图， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC=90°，
∴∠COD=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA， 而∠COD=∠A+∠ODA， ∴∠ODA=∠COD=25°，
∴∠CDA=∠ODC+∠ODA=90°+25°=115°． 故选B．
∠
6．如图，A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=（ ）
9 / 29
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【分析】首先根据反比例函数
BEOF=|k|=3，又
中k的几何意义，可知S﹣S
阴影
矩形
ACOD=S
矩形
S
阴影
=1，则S1=S
矩形ACOD
=2，S2=S
矩形BEOF
﹣S
阴影
=2，从而求出
S1+S2的值．
【解答】解：∵A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
∴S矩形ACOD=S矩形BEOF=3， 又∵S阴影=1， ∴S1=S2=3﹣1=2， ∴S1+S2=4． 故选B．
7．如图，反比例函数y1=与一次函数y2=ax+b交于点（4，2）、（﹣2，﹣4）两点，则使得y1＜y2的x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜﹣2或x＞4
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
10 / 29
【分析】求x的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：根据函数的图象可得：x的取值范围是﹣2＜x＜0或0x＞4． 故选D．
8．根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ） x y
… …
﹣1 4
0 ﹣0.5
1 ﹣2
2 ﹣0.5
… …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可． 【解答】解：
由题意可知抛物线过（0，0.5），（1，﹣2），（﹣1，4），
代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=0.5x2﹣3x+0.5， 令y=0可得0.5x2﹣3x+0.5=0，解得x=3+
或x=3﹣
，都大于0，
∴抛物线与x轴有两个交点，且它们都在y轴的右侧， 故选C．
9．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A．m=﹣1
B．m=3
C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可
11 / 29
得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣
≤1，
，
解得m≥﹣1． 故选D．
10．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（ ）
A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；
B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；
C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可； D、利用同角的三角函数计算．
【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=AC，OD=BD， ∴OA=OD，
12 / 29
∴AF=FD=AD=BC=2， ∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°， ∴四边形AGOF是矩形， ∴OG=AF=2， ∵S△AEO=AE•OG=5， ∴AE=
=
=5，
所以此选项的说法正确； B、∵OE⊥AC， ∴∠EOC=90° ∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠EOC=180°， ∴E、B、C、O四点共圆， ∴∠BCE=∠BOE， 所以此选项的说法正确；
C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE=∴AB=3+5=8， ∴AC=∴AO=AC=2∴EO=∴OE≠BE，
∵E、B、C、O四点共圆， ∵∠EOC=90°， ∴EC是直径， ∴EC与OB不垂直； 此选项的说法不正确； D、sin∠BOE=sin∠BCE=所以此选项的说法正确，
13 / 29
=，
=， =
=
，
=4
，
=3，
因为本题选择说法错误的， 故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11．若
=，则=
．
【考点】比例的性质．
【分析】根据合比性质，可得答案． 【解答】解：故答案为：．
12．已知线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′= （a ．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的的长，同理求得AC′的长，则CC′即可求得．
【解答】解：∵线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点， ∴较小线段AC′=BC=
a，
a=（
﹣2）a．
倍，可得BC
﹣2）
=，则=
=，
则CC′=AB﹣AC′﹣BC=a﹣2×故答案是：（
﹣2）a．
13．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网
14 / 29
格的交点处，则sinA=
．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】过B作BD垂直于AC，利用面积法求出BD的长，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出sinA的值即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC， ∵AB=
=
，BC=3，AC=
×BD，
=2
，
∴S△ABC=×3×2=×2解得：BD=
，
=
在Rt△ABD中，sinA=故答案为：
=，
14．如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，现有以下结论：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④当AB=AM=BN=1．其中结论正确的是 ①②③ ．
时，
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质．
15 / 29
【分析】②设点A（x1，y1），B（x2，y2），根据反比例函数图象上点的坐标即可得出x1•y1=x2•y2=k，将y=﹣x+b代入y=中，整理后根据根与系数的关系即可得出x1•x2=k，从而得出x2=y1、x1=y2，即ON=OM、AM=BN，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△AOM≌△BON，②正确；根据全等三角形的性质即可得出OA=OB，①正确；③作OH⊥AB于点H，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可得出∠AOH=∠BOH=22.5°、∠AOM=∠BON=22.5°，由相等的边角关系利用全等三角形的判定定理AAS即可证出△AOM≌△AOH，同理即可得出△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，再利用反比例系数k的几何意义即可得出S△AOB=k，③正确；④延长MA、NB交于G点，由NG=OM=ON=MG、BN=AM可得出GB=GA，进而得出△ABG为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质以及AB=
即可得出GA、GB的长度，由OM、ON的值不确定故无法得出
AM、BN的值，④错误．综上即可得出结论． 【解答】解：②设点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵点A、B在双曲线y=上， ∴x1•y1=x2•y2=k．
将y=﹣x+b代入y=中，整理得：x2﹣bx+k=0， ∴x1•x2=k， 又∵x1•y1=k， ∴x2=y1，x1=y2， ∴ON=OM，AM=BN． 在△OMA和△ONB中，
∴△AOM≌△BON（SAS），②正确； ①∵△AOM≌△BON， ∴OA=OB，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确； ③作OH⊥AB于点H，如图1所示． ∵OA=OB，∠AOB=45°，△AOM≌△BON，
，
16 / 29
∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM=∠BON=22.5°． 在△AOM和△AOH中，∴△AOM≌△AOH（AAS）， 同理：△BON≌△BOH，
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=k+k=k，③正确； ④延长MA、NB交于G点，如图2所示． ∵NG=OM=ON=MG，BN=AM， ∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形， 当AB=
时，GA=GB=
AB=1，
，
∵OM、ON不确定，
∴无法得出AM=AN=1，④错误． 综上所述：结论正确的是①②③． 故答案为：①②③．
三、解答题（共9小题，共90分） 15．求值：
cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°．
17 / 29
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：===
16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5） （1）求此二次函数的解析式；
（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积． 【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）通过解方程﹣（x﹣1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+9， 把（﹣1，5）代入得a（﹣1﹣1）2+9=5，解得a=﹣1， 所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+9；
（2）当y=0时，﹣（x﹣1）2+9=0，解得x1=4，x2=﹣2， 所以B、C两点的坐标为（﹣2，0），（4，0）， 所以△ABC的面积=×9×（4+2）=27．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．
18 / 29
×﹣×﹣．
+
cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° +×
【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．
【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2即可得到△A2B2C．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C为所作；
18．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长．
19 / 29
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．
【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴
=
．
∵AB=6，BD=4， ∴
=，
∴BC=9，
∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．
19．已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，连接OA，BD． （1）若AE=
，DE=1，求OA的长．
（2）若OA∥BD，则tan∠OAE的值为多少？
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（1）根据垂径定理可得OD⊥AB，然后设AO=x，则DO=x，EO=x﹣1，利用勾股定理可得∴（
）2+（x﹣1）2=x2，再解即可；
（2）首先证明△AEO≌△BEO，进而可得EO=ED，然后可得∠OAB=30°，再利用特殊角的三角函数可得答案．
【解答】解：（1）∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB， ∴OD⊥AB， 设AO=x，则DO=x， ∵DE=1，
20 / 29
∴EO=x﹣1，
在Rt△AOE中：AE2+EO2=AO2， ∴（
）2+（x﹣1）2=x2，
解得：x=3， ∴AO=3；
（2）∵OA∥BD， ∴∠OAB=∠EBD，
∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB， ∴AE=BE，EO⊥AB， 在△AOE和△BDE中∴△AEO≌△BEO（ASA）． ∴EO=ED， ∵AO=DO， ∴OE=AO， ∴∠OAE=30°， ∴tan∠OAE=
．
，
20．如图，根据道路管理规定，直线l的路段上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距离直线l的距离MN为30米（如图所示），现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长；
21 / 29
（2）通过计算判断此车是否超速．（
≈1.4，
≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．
【解答】解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°， ∴AN=MN•tan∠AMN=30在Rt△BMN中， ∵∠BMN=45°， ∴BN=MN=30． ∴AB=AN+BN=（30+30
．
）米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒， ∴此车的速度为：（30+30
）÷6=5+5
≈13.66，
∵60千米/时≈16.66米/秒， ∴13.66＜16.66 ∴不会超速．
21．如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．
22 / 29
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）利用待定系数法求出m，n的值；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点D的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y=上， ∴2=
，
解得，k=﹣2，
∴反比例函数解析式为：y=﹣， ∴b=
=﹣1，
则点B的坐标为（2，﹣1）， ∴
，
解得，m=﹣1，n=1；
（2）对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1， ∴点C的坐标为（0，1）， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标为（0，﹣1）， ∴△ABD的面积=×2×3=3； （3）对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，
∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1）， 当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），
23 / 29
S△PAB=×|1﹣a|×2+×|1﹣a|×1=3， 解得，a=﹣1或3，
当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b）， S△PAB=×|1﹣b|×2+×|1﹣b|×1=3， 解得，b=﹣1或3，
∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）．
22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长度为 20 m； （2）设OB=x，四边形OBDG的面积为ym2，
①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
②设①②③这三块区域的面积分别为S1、S2、S3，若S1：S2：S3=3：2：1，求GE：ED：DC的值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的应用． 【分析】（1）首先证明EG=EO=DB，DE=FC=OB，设OB=CF=DE=x，则GE=OE=BD==40﹣x，由①②③这块区域的面积相等，得到（40﹣x）2=•x（40﹣x），解方程即可．
（2）①根据直角梯形的面积公式计算即可．②由S1：S2：S3=3：2：1，肯定（40﹣x）2=（﹣x2+800），推出x==
，ED=
，DC=EG=
或40（舍弃），求得EG=40﹣
，由此即可解决问题．
24 / 29
【解答】解：（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，设OB=CF=DE=x，则GE=OE=BD==40﹣x， ∵①②③这块区域的面积相等， ∴（40﹣x）2=•x（40﹣x）， ∴x=20或40（舍弃）， ∴BC=20m． 故答案为20．
（2）①y=•（40﹣x）=﹣x2+800（0＜x＜40）．
②∵S1：S2：S3=3：2：1，
∴（40﹣x）2=（﹣x2+800）， ∴x=
或40（舍弃），
=
，ED=：
：
，DC=EG=
，
∴EG=40﹣
∴EG：DE：DC= =6：3：4．
23．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF = GH；（填“＞”“=”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：
=
；
25 / 29
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求
的值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）EF=GH．如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，推出AP=GH，EF=BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可解决问题．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=
．设SC=x，则AR=BS=3+x，由△ARD∽△DSC，得
=
=
=
=，
推出DR=x，DS=（x+3），在Rt△ARD中，根据AD2=AR2+DR2，可得7.52=（x+3）2+（x）2，求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．
∵四边形ABCD是正方形，
26 / 29
∴AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90° ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP=GH，EF=BQ． 又∵GH⊥EF， ∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°， ∴∠CBQ=∠BAT， 在△ABP和△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ， ∴AP=BQ， ∴EF=GH， 故答案为=．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP=EF，GH=BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°， ∴∠DAP+∠DPA=90°， ∴∠AQT=∠DPA． ∴△PDA∽△QAB，
27 / 29
∴∴
==
， ；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得设SC=x，则AR=BS=3+x， ∵∠ADC=∠R=∠S=90°，
∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°， ∴∠RAD=∠CDS， ∴△ARD∽△DSC， ∴
=
=
=
=，
=
，
∴DR=x，DS=（x+3）， 在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2， ∴7.52=（x+3）2+（x）2，
整理得13x2+24x﹣189=0，解得x=3或﹣∴AR=6，AB=RS=∴
=
=．
，
，
28 / 29
2月25日
29 / 29
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容