高中数学常用公式与证明专题

高中数学常用公式与证明专题

本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写

1.不等式的基本性质：

（1）对称性：abba

（2）传递性：ab，bcac （3）可加性：abacbc

（4）加法：ab，cdacbd

（5）保号性：ab，c0acbc；c0acbc （6）乘法：ab0，cd0acbd （7）乘方：ab0anbn（n∈N*） （8）开方：ab02.均值不等式定理： （1）四种形式：

nanb（n∈N*）

整式形式：a2b22ab，

a2b22ab（a，b∈R，当且仅当ab时取“=”号） ab(根式形式：

ab2)（a，b∈R，当且仅当ab时取“=”号） 2abab a，b∈R+，当且仅当ab时取“=”号) 2baba分式形式：2（ab0），2（ab0）

abab11倒数形式：若x0，则x2；若x0，则x2.

xxa1a2...anna1a2...an（a1，a2，…，an均为正数） （2）推广：

n（3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑）

已知x、y都是正数，则有：

①若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p； ②若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值3.常用不等式：

12s. 4aba2b2（1）不等式链：（a、b均为正数） ab1122ab2（2）柯西不等式：(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR) 4.含绝对值不等式：

（1）绝对值的几何意义；

（2）性质：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

（3）推论：①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an| ②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

等号成立的条件：①|a+b|=|a|+|b|ab≥0

②|a-b|=|a|+|b|ab≤0 ③|a|-|b|=|a+b|(a+b)b≤0

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④|a|-|b|=|a-b|(a+b)b≥0

5.不等式的证明方法：

（1）比较法：作差、作商

（2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质 （3）分析法

（4）换元法：三角换元、代数换元

（5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等 （6）反证法 （7）放缩法 （8）判别式法： （9）数学归纳法 6.不等式的解法：

（1）一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a≠0）.（结合图象求解集）如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1x2 （x-x1）（x-x2）>0. （2）简单的高次不等式：（x-x1）（x-x2）…（x-xn）<0（穿针引线法）

（3）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别.

（4）含参数的不等式：注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论. （5）当a>0时，|x|>ax2>a2x>a或x<-a(x-a)(x+a)>0 |x|cx+d：分类讨论 （7）|ax+b|>|cx+d|：两边平方

（8）m<|ax+b|①

f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)g(x)②

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或.

f(x)[g(x)]2g(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2f(x)f(x)③

（11）指数不等式：

若a>1， 则a若0ag(x)f(x)g(x)， ag(x)f(x)g(x).

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f(x)0若a>1，则logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0若0f(x)g(x)7.直线的斜率公式：

（1）k=tanα，00≤α＜1800，且α≠900； （2）ky2y1（P1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2）.

x2x1由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像. 8.直线的倾斜角计算：

（1）若k不存在，则900；

（2）若k存在，当k0时，arctank；

当k0时，arctankarctan(k).

9.直线方程的六种形式：（注意各种形式适用的范围） （1）点斜式：yy1k(xx1) （2）斜截式：ykxb

yy1xx1(y1y2、x1x2)

y2y1x2x1xy（4）截距式：1（ab≠0）

ab（3）两点式：

横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、横截距是纵截距的几倍或几分之几等，都应注意截距可能为零！截距可正、可负、可为零！

（5）一般式：Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0） （6）参数式：xx0at（t为参数）

yybt010.两条直线的位置关系：（注意：斜率可能不存在时另外讨论） （1）若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则

①l1∥l2k1=k2且b1≠b2 ②l1⊥l2k1k2=-1

③l1与l2相交k1≠k2 ④l1与l2重合k1=k2且b1=b2 （2）若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，且A1A2B1B2≠0，则

①l1∥l2A1B1C1 ②l1⊥l2A1A2+B1B2=0 A2B2C2③l1与l2相交ABCA1B1 ④l1与l2重合111

A2B2C2A2B211.直线l1到l2的角公式：00＜α＜1800 （1）tank2k1（l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，k1k2≠-1）

1k2k1----完整版学习资料分享----

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（2）直线l1⊥l2时，直线l1到l2的角是12.两直线l1、l2的夹角公式：00＜α≤900 （1）tan|. 2k2k1|（l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，k1k2≠-1）

1k2k1（2）直线l1⊥l2时，直线l1与l2的夹角是13.距离：

（1）点到直线的距离：

. 2d|Ax0By0C|AB22 （点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0）

（2）两平行线间的距离：

d|C1C2|AB22 （l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0）

14.常用的直线系方程：

（1）平行直线系方程：

直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程. 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（m≠C）. （2）垂直直线系方程：

与直线Ax+By+C=0 (AB≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0. （3）过定点直线系方程：

经过定点P（x0，y0）的直线系方程为y-y0=k(x-x0) (除直线x=x0) 经过定点P（x0，y0）的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0 经过定点（0，b）的直线系（斜率存在）方程为y=kx+b. （4）共点直线系方程：

经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ

(A2x+B2y+C2)=0 (除l2外)，其中λ是待定的系数． 15.对称问题：（结合图形理解）

（1）点关于点对称：思路：利用中点坐标公式

点A（a，b）关于原点对称的点A′（-a，-b）. （2）点关于直线对称：

①点A（a，b）关于x轴的对称点A′（a，-b）.

②点A（a，b）关于y轴的对称点A′（-a，b）. ③点A（a，b）关于y=x的对称点A′（b，a）. ④点A（a，b）关于y=-x的对称点A′（-b，-a）. ⑤点A（a，b）关于x=m的对称点A′（2m-a，b）. ⑥点A（a，b）关于y=n的对称点A′（a，2n-b）.

⑦点A（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点A′.

思路一：利用中点坐标公式、中点在直线l上、垂直关系.（重点掌握）

思路二：利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点坐标公式. （3）直线关于点对称：

思路一：轨迹法.（重点掌握）

思路二：在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程. 思路三：平行直线系.

（4）直线l：Ax+By+C=0关于直线对称：

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①直线l关于x轴对称的直线是：Ax+B(-y)+C=0 ②直线l关于y轴对称的直线是：A(-x) +By+C=0 ③直线l关于y=x对称的直线是：Ay+Bx+C=0

④直线l关于y=-x对称的直线是：A(-y) +B(-x) +C=0 ⑤直线l关于直线l1：A1x+B1y+C1=0对称的直线是l′：

思路一：到角公式法（重点掌握） 思路二：中点坐标法 思路三：轨迹法 思路四：待定系数法 思路五：直线系法.

16.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域：

设直线l：Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：

若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B 与Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

一般的，用特殊点（如原点等）代入能更快判断表示的平面区域. 17.求解线性规划问题的步骤是：

（1）根据实际问题的约束条件列出不等式； （2）作出可行域，写出目标函数；

（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 18.设曲线F：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0可以表示成（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0的形式，则曲线F表示两条直线.

19.设直线l： Ax+By+C=0，两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若直线l与线段MN相交，则（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）≤0. 20.圆的方程四种形式：

（1）圆的标准方程：(xa)(yb)r

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

222AC0▲Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B0.

D2E24F0xarcos（为参数）

ybrsin（4）圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 （4种证法）

（圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)）

（3）圆的参数方程：21.圆系方程：

（1）过直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，λ是待定系数．

（2）共交点圆系：过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2），其中λ≠－1是待定系数．

特别的，当λ=－1时，（D1－D2）x+（E1－E2）y+（F1－F2）=0为两圆公共弦所在的直线方程.（要求：两圆必须相交！） 22.点与圆的位置关系：

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222点P（x0，y0）、圆C：(xa)(yb)r，d=|PC|，则： d>r点P在圆外；d=r点P在圆上；d< r点P在圆内.

注：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为|PC|+r，最小距离为|PC|-r. 23.直线与圆的位置关系：

直线：Ax+By+C=0、圆C：(xa)(yb)r，则： d>r相离△<0； d=r相切△=0； d0. 其中，d222AaBbCAB22，△表示由直线方程和圆方程联立得到的二次方程的判别式.

注：（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r.

l224.弦长公式：若直线ykxb与二次曲线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则由二次曲线方程和

（2）当直线与圆相交时，弦长l，弦心距d，半径r满足：()2d2r2.

ykxb联立可得ax2bxc0(a0)，则知直线与二次曲线所截得的弦长

|AB|1k2|x1x2|11|y1y2| k21k2b24ac(1k2)[(x1x2)24x1x2].

|a|25.两圆的位置关系：

（1）代数法：由两个圆的方程组成二元二次方程组，

若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；

若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解），则两圆相切； 若方程组没有实数解，则两圆相离或内含. （2）几何法：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，|O1O2|=d，则：

两圆相离 d>r1+r2 4条公切线； 两圆外切 d=r1+r2 3条公切线； 两圆相交|r1-r2|（1）若点（x0，y0）在圆x2+y2= r2上，则切线方程为x0x+y0y=r2. （2）若点（x0，y0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上，则切线方程为

(x0-a) (x-a) +(y0-b) (y-b)= r2.

求法：利用点斜式（点为切点，斜率为圆心与切点连线的斜率的负倒数）.

（3）若点（x0，y0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r2外，则切线方程的求法是先设切线方程（即设斜率），再利用

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圆心到切线的距离等于半径，可求得斜率，从而写出切线方程.

注意：切线必有两条，注意不要漏掉切线斜率不存在的情况．

（4）若点（x0，y0）在圆x2+y2= r2外，过点P引两条切线，切点为A、B，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2. （5）切线长：过圆外一点P（x0，y0）作圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的切线PM，M为切点，则切线长|PM|=

x0y0Dx0Ey0F.

2227.已知曲线C1：F1（x，y）=0、C2：F2（x，y）=0，则过C1、C2交点的曲线系方程为F1（x，y）+λF2（x，y）=0（λ是待定的系数）．

28.在曲线方程（包括线性约束条件）中，求

y22型、xy型、xy型值域（或最值）等相关问题时，x应数形结合充分利用几何特征解题.（还可考虑参数法！） 29.圆的对称问题：

（1）圆关于直线对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于直线对称. （2）圆关于直线成轴对称：直线过圆的圆心.

（3）圆关于点对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于点对称. 30.椭圆的定义：

（1）第一定义（距离定义）：|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|>0）.

注意：若2a=|F1F2|，则点M的轨迹是线段；

若2a<|F1F2|，则点M的轨迹不表示任何图形. （2）第二定义（比值定义）：

|MF|e，其中d表示点M到定直线的距离. d31.椭圆的标准方程及其几何性质： 椭圆方程 x2y221 2ab y x2y221 2bay F1 x F2 x 图 形 M F2 F1 a、b、c的关系 范 围 焦 点 顶 点 对 称 性 离 心 率 准 线 焦 距 长 轴 长 c2=a2-b2（a>0，b>0，c>0） |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a （±c，0） （0，±c） （±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0） 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 ecb1()2(0e1) aaa2y c半 焦 距 长半轴长 c a a2x c2c 2a ----完整版学习资料分享----

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短 轴 长 2b 短半轴长 b a22a2（1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离

cca2a2a2c，焦点到相对准线的距离为c，长轴顶点到相应准线的距离为a，长轴顶点到相对为

ccca2a，焦点到相应顶点的距离为ac，焦点到相对顶点的距离为ac. 准线的距离为c（2）求椭圆标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为

mx2ny21(m0,n0).

（3）椭圆的参数方程：（掌握推导方法）

xacosx2y2①221(ab0)：（为参数） abybsinxbcosx2y2②221(ab0)：（为参数） bayasin说明：参数叫做椭圆的离心角，椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同，且

tanbtan. ay 22P 32.（1）在椭圆

xy1的焦三角形△F1PF2中， 22ab设∠F1PF2=，则：面积Sb2tan2F1 F2 x bc；周长C=2a+2c. y B （2）椭圆中，AB过点焦点F1，则△ABF2的周长等于4a. x2y2（3）在椭圆221的焦三角形△F1PF2中，张角

abF1 A F2 x 当且仅当点P为椭圆的短轴端点时最大.

（4）椭圆中过长轴端点的最大弦为长轴；过短轴端点的最大弦的情况为：当离心率e(2,1)，即2a22a2b时，长为，当离心率e(0,]，即a2b时，长为短轴长2b.

2cx2y233.椭圆221(ab0)的焦半径公式：

ab|PF1|aex0，|PF2|aex0，

其中F1为左焦点，F2为右焦点，P（x0，y0）. 特别的，（1）椭圆上的动点P到某一焦点F的距离d=|PF|有：|PF|max=a+c，|PF|min=a-c（即点P为椭圆长轴上的顶点）.

2b2（2）椭圆的通径等于（通径：过焦点且垂直于焦点所在的对称轴的焦点弦）

ax2y2（3）过椭圆221(ab0)左焦点的焦点弦为AB，则

ab----完整版学习资料分享----

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AB2ae(x1x2)，过右焦点的弦AB2ae(x1x2).

34.点与椭圆的位置关系：

x2y2点P（x0，y0），椭圆C：22ab22x0y0（1）点P在椭圆C内22ab22x0y0（2）点P在椭圆C上22ab22x0y0（3）点P在椭圆C外22ab1(ab0) 1. 1. 1.

x2y235.椭圆系：（1）具有相同离心率的标准椭圆系的方程为22(0)或

abx2y2(0). b2a2x2y21(m0，c为半焦距）. （2）共焦点的椭圆系的方程为2mmc36.直线与椭圆的位置关系：

x2y2 直线l的方程：y=kx+b，椭圆C的方程：221.

ab由直线方程和椭圆方程联立，消y（以此为例），得到一个关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0，其判别式为△.

（1）直线与椭圆相交△>0. （2）直线与椭圆相切△=0. （3）直线与椭圆相离△<0.

特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入椭圆方程，“点差法”很巧妙！ 附：椭圆的切线方程：

x2y2xxyy（1）椭圆221上一点P（x0，y0）处的切线方程是02021.

ababx2y2（2）过椭圆221外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. 2abx2y2（3）椭圆221与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2C2.

37.双曲线的定义：

（1）第一定义（距离定义）：| |MF1|-|MF2| |=2a（0<2a<|F1F2|）

注意：若2a=|F1F2|，则点M的轨迹是两条射线；

若2a>|F1F2|，则点M的轨迹不表示任何图形.

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（2）第二定义（比值定义）：

|MF|e，其中d表示点M到定直线的距离. d38.双曲线的标准方程及其几何性质： 标准方程 x2y221 2aby y2x221 2aby F2 图 形 FO Fx F1 x a、b、c的关系 范 围 焦 点 顶 点 对 称 性 离 心 率 准 线 渐 近 线 焦 距 实 轴 长 虚 轴 长 c2=a2+b2（a>0，b>0，c>0） |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R （±c，0） （0，±c） （±a，0） （0，±a） 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 ecb1()2(e1) aaa2y cayx b半 焦 距 实半轴长 虚半轴长 c a b a2x cbyx a2c 2a 2b a22a2（1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离

cca2a2a2为c，焦点到相对准线的距离为c，顶点到相应准线的距离为a，顶点到相对准线的距

ccca2离为a，焦点到相应顶点的距离为ca，焦点到相对顶点的距离为ca.

c（2）求双曲线标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为

mx2ny21(mn0)或mx2ny21(mn0).

x2y239.（1）在双曲线221的焦三角形△F1PF2中，∠F1PF2=，则面积Sb2cot.

ab2x2y2 （2）双曲线221的一个焦点到一条渐近线的距离为b.

abx2y240.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式：（掌握推导过程）

ab（1）若点P在右支上，则|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；

（2）若点P在左支上，则|PF1|(ex0a)，|PF2|(ex0a). 其中F1为左焦点，F2为右焦点，P（x0，y0）.

2b2特别的，双曲线的通径等于.

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41.点与双曲线的位置关系：

x2y2点P（x0，y0），双曲线C：22ab22x0y0（1）点P在双曲线C内22ab22x0y0（2）点P在双曲线C上22ab22x0y0（3）点P在双曲线C外22ab42.双曲线的方程与渐近线方程的关系：

1(a0,b0) 1. 1.

1.

x2y2x2y2b（1）若双曲线方程为221，则渐近线方程为220，即yx.

abababxy（2）若渐近线方程为yx，即0，则双曲线方程可设为

aabx2y2(0). a2b243.特殊双曲线：

（1）等轴双曲线：实轴和虚轴长相等的双曲线，即ab，xya. 性质：两条渐近线方程为yx且互相垂直；e2.

（2）共轭双曲线：有相同的渐近线且焦点不在同一坐标轴上的双曲线.

222x2y2x2y2即221与221. abab若设它们的离心率分别为e1、e2，则e1e222且

共轭双曲线有相等的焦距，四个焦点共圆.

44.双曲线系：（重点掌握方法、思路）

111. 22e1e2x2y221(0kc2) . （1）具有相同焦点的标准双曲线系的方程为

kckx2y2（2）与椭圆221共焦点的双曲线系方程为

abx2y221(b2a2). 2abx2y2x2y2（3）若双曲线与221有相同的渐近线，则可设为22.

ababx2y2x2y2（4）若双曲线与221有相同的离心率，则可设为22或

ababy2x22(0)两种情形. 2ab45.直线与双曲线的位置关系：

x2y2 直线l的方程：y=kx+b，双曲线C的方程：221.

ab 由直线方程和双曲线方程联立，消y（以此为例），得到一个关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0，

其判别式为△.

（1）直线与双曲线相交△>0.

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（2）直线与双曲线相切△=0. （3）直线与双曲线相离△<0.

注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与双曲线只有一个交点，但不是相切，而是直线与渐近线平行.因此，直线与双曲线相交时，一定要注意直线与渐近线的关系.

设直线l的倾斜角为，斜率为正的渐近线的倾斜角为： l l l α θ α θ α θ 图（1） 图（2） 图（3） 如图（1），=时，直线l只与双曲线的一支相交，交点只有一个； 如图（2），>时，直线l只与双曲线的一支相交，交点有两个； 如图（3），<时，直线l与双曲线的两支都相交，交点两个，每支一个.

特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入双曲线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子.（“点差法”）

附：双曲线的切线方程：

x2y2xxyy（1）双曲线221上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2xxyy （2）过双曲线221外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

ababx2y2（3）双曲线221与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2C2.

|PF|46.抛物线的定义：e1.

d到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线. 注：定点必须不在定直线上，否则轨迹是一条直线. 47.抛物线的标准方程及其几何性质：(p0)

方 程 l 图 形 O y22px y y22px y l x22py y x22py l y O x P F x F O x l O F x F y≤0，x∈R 范 围 焦 点 顶 点 对称性 焦半径 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R p(,0) 2x轴 (p,0) 2原点(0,0) p(0,) 2y轴 p(0,) 2|PF|px 2|PF|px 2|PF|py 2|PF|py 2----完整版学习资料分享----

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准 线 离心率 xp 2xp 2yp 2yp 2e1 pp，焦点到顶点的距离为. 22（1）几个“不变”的量：焦点到准线的距离为p，顶点到准线的距离为

2y2（2）对于抛物线y2px(p0)上的点的坐标可设为(0,y0)，以便简化运算，其他类似.

2p（3）焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2px(p0)上任意一点，F为焦点，则|PF|x02p；2y22px(p0)上任意一点，F为焦点，则|PF|x048.抛物线的焦点弦公式及其他重要结论：

2p. 22p2p； 2sin（1）过抛物线y2px(p0)焦点F的弦AB的长度|AB|x1x2p或|AB|（2）抛物线的通径长为2p.

p22（3）x1x2，y1y2p；

4（4）以AB为直径的圆与准线相切； （5）

112； |FA||FB|p（6）焦点F对A、B在准线上射影的张角为900.

其中，点A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上不同的两点，F是抛物线的焦点，是弦AB的倾斜角. 49.点与抛物线的位置关系：

（1）点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).

点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). （2）点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).

点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). （3）点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).

点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). （4）点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).

点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). 50.直线与抛物线的位置关系：

直线l的方程：y=kx+b，抛物线C的方程：y2px(p0).

由直线方程和抛物线方程联立，消y（以此为例），得到一个关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0，其判别式为△.

（1）直线与抛物线相交△>0. （2）直线与抛物线相切△=0. （3）直线与抛物线相离△<0.

注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与抛物线只有一个交点，但不是相切，而是直线与抛物线的对称轴平行.

特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. （“点差法”）

涉及直线与抛物线的有关问题求解时，一要注意直线斜率是否存在，并分类讨论解决；二要注意焦

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22222222222222222资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

半径公式和韦达定理的应用.

附：抛物线的切线方程

2（1）抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

（2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

2y0yp(xx0).

（3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC. 51.圆锥曲线的对称问题：

（1）曲线f(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是

22f(2x0x,2y0y)0.

（2）二次曲线f(x,y)0以定点M(a,b)为中点的弦所在的直线方程为

f(2ax,2by)f(x,y).

（3）二次曲线f(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

ByCAxCf(,)0.

AB52.几个定值：

（1）椭圆：

x2y2①椭圆221(ab0)上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和椭

abb2a2圆中心连线的斜率之积为定值2，若焦点在y轴上，则定值为2；

abx2y2②椭圆221(ab0)上任意一点与椭圆长轴的两端点连线斜率乘积

abb2a2是定值2，若焦点在y轴上，则定值为2；

abx2y2③椭圆221(ab0)上任意一点与椭圆短轴的两端点连线斜率乘积

abb2a2是定值2，若焦点在y轴上，则定值为2；

ab（2）双曲线：

x2y2①双曲线221(a0,b0)上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点

abb2a2和双曲线中心连线的斜率之积为定值2，若焦点在y轴上，则定值为2；

abx2y2②双曲线221(a0,b0)上任意一点（非顶点）与左、右两个顶点

abb2a2的连线的斜率乘积是定值2，若焦点在y轴上，则定值为2；

abx2y2③双曲线221(a0,b0)上任一点（非顶点）与两顶点A、B的连线

ab22交y轴于M、N两点，则|OM||ON|=b，若焦点在y轴上，则|OM||ON|=b；

x2y2④M、N是双曲线221(a0,b0)上关于原点对称的两个点，点P

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b2是双曲线上任意一点，若PM、PN斜率都存在，则它们的斜率之积为定值2，

aa2若焦点在y轴上，则定值为2.

b（3）抛物线：

抛物线y2px(p0)有kAB53.曲线Ax2+By=C表示哪些曲线？

在待定系数A、B、C满足一定的条件下，曲线可以表示点、直线、圆、椭圆、双曲线. 54.求轨迹方程（或轨迹）的常用方法：

（1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替此等式，化简得曲线得方程，即f(x,y)0.

（2）定义法（待定系数法）：利用所学过的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义直接写出所求动点的轨迹方程.

（3）代入法（相关点法）：若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将点Q的坐标代入已知曲线方程，即得到点P的轨迹方程.

（4）参数法：选取适当参数，分别用参数表示动点坐标(x,y)，得出轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程.

（5）几何法：动点的几何特征与平面几何的定理有着直接或间接的联系，且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后即可得所求轨迹方程.用此法的关键在于所求轨迹的几何条件与平面几何知识的紧密结合.

（6）交轨法：如果所求轨迹是由两条动曲线的交点所得，恰当地引进一个参数，写出两条动曲线地方程，消去参数，即得所求地轨迹方程.

222p，其中y1、y2为A、B的纵坐标.

y1y2

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