一、选择题（每小题2分，计16分．将正确答案的序号填写在下面的表格中）
1．（2分）以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（2分）9的平方根是（ ） A．±3
B．3 C．﹣3 D．81
3．（2分）下列各数中，有理数是（ ） A．
B．
C．
D．D．
4．（2分）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
5．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A．AB=5，BC=6，∠A=70° B．AB=5，BC=6，AC=13 C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 6．（2分）如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（2分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
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A．5 B．4 C．10 D．8
8．（2分）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：
①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1； ②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1； ③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1； ④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1． 其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题2分，共20分） 9．（2分）化简：
=，
=．
．（用“＞”、“=”或“＜”填空）．
10．（2分）比较大小：
11．（2分）太阳的半径约是696000千米，用科学记数法表示（精确到万位）约是千米．
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12．（2分）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，要使△APD≌△APE，可添加的条件是．（写出一个即可）
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若MN=5cm，CN=2cm，则BM=cm．
15．（2分）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．
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16．（2分）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以 P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为．
17．（2分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程．
已知：直线l和l外一点P．求作：直线
l的垂线，使它经过点P
作法：如图，
（1）在直线l上任意两点A、B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ，所以直线PQ就是所求
作的垂线．该作图的依据是．
18．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE=5，AD=4，线段CE的长为．
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三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19．（8分）计算求下列各式中的x （1）9x2﹣4=0； （2）（x+1）3=﹣27．
20．（6分）已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AC=DF，AC∥DF，AD=BE．求证：△ABC≌△DEF．
21．（6分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船向南偏东45°方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度向南偏西45°方向航行，2小时后两艘轮船之间的距离为50海里，问甲轮船平均每小时航行多少海里？
22．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB=PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．
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23．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O． 求证：OD=OE．
24．（9分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
﹣1来表示
的小数部的小数部
分我们不可能完全地写出来，于是小明用
分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题： （1）求出
+2的整数部分和小数部分；
=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x
（2）已知：10+﹣y）的相反数．
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25．（9分）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD=CE，BE=CF， （1）求证：∠B=∠DEF；
（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．
26．（10分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°． 求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，计16分．将正确答案的序号填写在下面
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的表格中）
1．（2分）以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、有四条对称轴， B、有六条对称轴， C、有四条对称轴， D、有二条对称轴，
综上所述，对称轴最少的是D选项． 故选：D．
2．（2分）9的平方根是（ ） A．±3
B．3 C．﹣3 D．81
【解答】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根为±3． 故选：A．
3．（2分）下列各数中，有理数是（ ） A．
B．
C．，
，
D．D．
是有理数，
【解答】解：故选：B．
是无理数，
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4．（2分）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
【解答】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故选项正确； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误； C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误； D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：A．
5．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A．AB=5，BC=6，∠A=70° B．AB=5，BC=6，AC=13 C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
B、∵AB+BC=5+6=11＜AC， ∴不能画出△ABC；
B、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
C、已知两角和夹边，能画出△ABC，故本选项正确；
D、根据∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°不能画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：C．
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6．（2分）如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：∵∠AEC=110°，
∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°， ∵△ABD≌△ACE， ∴AD=AE， ∴∠AED=∠ADE，
∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°． 故选：B．
7．（2分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5 B．4 C．10 D．8
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD=
=4，
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∴BC=2BD=8， 故选：D．
8．（2分）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：
①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1； ②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1； ③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1； ④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1． 其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等，故①②③正确． 故选：C．
二、填空题（每小题2分，共20分） 9．（2分）化简：
= 4 ，
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=．
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【解答】解：
=﹣
，
故答案为：4，﹣
10．（2分）比较大小：＜【解答】解：∵=， ∴﹣∵（1﹣∴1﹣∴﹣
=
．
）=1﹣3=﹣2＜0，1+
＞0，
．（用“＞”、“=”或“＜”填空）．
）×（1+＜0，
＜0，即＜．
故答案为：＜．
11．（2分）太阳的半径约是696000千米，用科学记数法表示（精确到万位）约是 7.0×105千米．
【解答】解：696000=6.96×105≈7.0×105， 故答案为：7.0×105．
12．（2分）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，要使△APD≌△APE，可添加的条件是 答案不唯一，PD=PE或AD=AE或∠DAP=∠EAP或∠DPA=∠EPA ．（写出一个即可）
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【解答】解：①∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠ADP=∠AEP=90°， 在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL） ∴可添加的条件是：PD=PE； ②∵PD⊥AB， PE⊥AC， ∴∠ADP=∠AEP=90°， 在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL） ∴可添加的条件是：AD=AE； ③∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠ADP=∠AEP=90°， 在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（AAS）
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∴可添加的条件是：∠DAP=∠EAP； ④同理可添加∠DPA=∠EPA；
故答案为：PD=PE或AD=AE或∠DAP=∠EAP或∠DPA=∠EPA．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为 5 ．
【解答】解：在Rt△ACD中，AD=13，AC=12，由勾股定理得：CD=5，
过D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=5，
即点D到AB的距离为5， 故答案为：5．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若MN=5cm，CN=2cm，则BM= 3 cm．
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【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN， ∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN， ∵MN=5cm，CN=2cm， ∴BM=5﹣2=3cm， 故答案为3cm．
15．（2分）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=
．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
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∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC， ∵BD为中线，
∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30°=∠DBC， ∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1， ∴AD=DC=1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=即DE=BD=故答案为：
16．（2分）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以 P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为
﹣1 ．
， ．
=
，
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【解答】解：由勾股定理知：PB=∴PD=
，
﹣1．
==，
∴点D表示的数为故答案是：
﹣1．
17．（2分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程．
已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的
垂线，使它经过点P 作法：如图，
（1）在直线l上任意两点A、B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为
半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ，所以直线PQ就是所求作的垂线．该作图的依据是 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ． 【解答】解：由作图可知AP=AQ、BP=BQ，
所以点A、B在线段PQ的中垂线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 所以PQ⊥l，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
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18．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE=5，AD=4，线段CE的长为 1.4 ．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AB=2AD=8，∠ADE=∠C=90°， ∴△ADE∽△ACB， ∴
，
∴AC=1.4， ∴CE=1.4， 故答案为：1.4．
三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19．（8分）计算求下列各式中的x （1）9x2﹣4=0； （2）（x+1）3=﹣27． 【解答】解：（1）x2=， x= x=﹣ （2）x+1=﹣3 x=﹣4
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20．（6分）已知：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AC=DF，AC∥DF，AD=BE．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF． ∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．
在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠EDF，AB=DE， ∴△ABC≌△DEF．
21．（6分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船向南偏东45°方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度向南偏西45°方向航行，2小时后两艘轮船之间的距离为50海里，问甲轮船平均每小时航行多少海里？
【解答】解：根据题意知∠AOB=90°， OB=2×20=40，AB=50，
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由勾股定理得，OA===
=40
则甲轮船每小时航行=20海里，
答：甲轮船每小时航行40海里．
22．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB=PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
（2）如图所示，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P， 此时PB=PC；
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（3）S四边形PABC=S△ABC+S△APC =×5×2+×5×1 =
．
23．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O． 求证：OD=OE．
【解答】证法一：在△ABE和△ACD中， ∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD， ∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD， ∵AB=AC，
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∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE=∠ACB﹣∠ACD，即∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC，
∵BE=CD，OB=OC，
∴BE﹣OB=CD﹣OC，即OD=OE．
证法二：在△ABE和△ACD中， ∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD， ∵AB=AC，AD=AE，
∴AB﹣AD=AC﹣AE．即BD=CE， 在△OBD和△OCE中，
∵∠BOD=∠COE，∠ABE=∠ACD，BD=CE， ∴△OBD≌△OCE， ∴OD=OE．
24．（9分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
﹣1来表示
的小数部的小数部
分我们不可能完全地写出来，于是小明用
分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
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请解答下列问题： （1）求出
+2的整数部分和小数部分；
=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x
（2）已知：10+﹣y）的相反数．
【解答】解：（1）∵1＜∴3＜∴
（2）∵2＜∴12＜10+∴10+
＜3， ＜13， +2＜4，
＜2，
+2的整数部分是1+2=3， +2的小数部分是﹣1；
的整数部分是12，10+
﹣2， ﹣2）=12﹣
﹣14．
的小数部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=∴x﹣y=12﹣（
+2=14﹣，
则x﹣y的相反数是
25．（9分）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上， BD=CE，BE=CF， （1）求证：∠B=∠DEF；
（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．
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【解答】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
在△DBE与△ECF中，
∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF， ∴△DBE≌△ECF， ∴∠BDE=∠CEF，
∵在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB=180° ∴∠B=180°﹣∠BDE﹣∠DEB ∵∠CEF+∠DEF+∠DEB=180° ∴∠DEF=180°﹣∠CEF﹣∠DEB ∴∠B=∠DEF．
（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，理由如下 ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， 即∠DEF=60°， ∵△DBE≌△ECF ∴ED=EF，
∵ED=EF，∠DEF=60°， ∴△DEF是等边三角形．
26．（10分）概念学习
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规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°． 求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60° ∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80° ∵CD为角平分线，
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∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°， ∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A， ∴CD=DA，
∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°， ∴∠BDC=180°﹣∠DCB﹣∠B=80°， ∴∠BDC=∠ACB，
∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A， ∠B=∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（2）当△ACD是等腰三角形，DA=DC时，∠ACD=∠A=42°， ∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°，
当△ACD是等腰三角形，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=69°， ∠BCD=∠A=42°， ∴∠ACB=69°+42°=111°，
当△BCD是等腰三角形，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B=46°， ∴∠ACB=92°，
当△BCD是等腰三角形，DB=BC时，∠BDC=∠BCD， 设∠BDC=∠BCD=x， 则∠B=180°﹣2x， 则∠ACD=∠B=180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+42°=x， 解得，x=74°，
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∴∠ACD=180°﹣2x=32°， ∴∠ACB=106°，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
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