2015年北京市人大附中高考数学模拟试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A{x|x2x20},集合B{x||xa|3},若ABR,，则实数a的取值范围是

（A）[1，2] （B）（－1，2） （C）[－1，2] （D）（－2，1） 2. 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：

①//lm；②l//m；③l//m；④lm// 其中正确的两个命题的序号是

（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③

3. 下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数ylog2x的图象重合的

函数是

（A）y2x （B）ylog1x

211x4 （D）ylog21

x24. 如右图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内

有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为

（C）y

5. 函数yxsinx，x,的大致图象是（ ）

y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (B) (C) (D) 6. 设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是 ．．．．

11（A）(ab)()4 （B）a3b32ab2

ab（C）a2b222a2b （D）|ab|ab

7. 设a、b是方程x2xcotcos0的两个不相等的实数根，那么过点A

（a,a2）和B（b，b2）的直线与圆x2y21的位置关系是

（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）随θ的值变化而变化 8. 函数fxM,Msinx0，在区间a,b上是增函数，且

fafb，则函数MgxMcosx在区间a,b上

（A）是增函数 （B）是减函数

（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值－M

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.

2xy8x3y99. 若实数x、y满足,则zx2y的最大值为 .

x0y010. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0,若存在自然数m3，使得am=Sm , 当

n>m时，Sn与an的大小关系为：Sn_______an．（填“>”；“<”或“＝”） 11. 2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉

卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）

12. 某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个

人进站的方案数为______________．

13. 设a,b,c是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：

（1）abab； （2）bcacab不与向量c垂直．； （3）abab； （4）若ab0，则a0，或者b0； （5）abcbca； （6）3a2b3a2b9a4b 其中真命题的序号为_____________________________. 14. 某纺织厂的一个车间有n（n>7，n∈N）台织布机，编号分别为1，2，3，„„，

n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，„„，n．现定义记号aij如下：如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定aij=1，否则aij=0．若第

7

号

织

布

机

有

且

仅

有

一

人

操

作

，

则

22a17a27a37a47an7 ；若a31a32a33a34a3n2，

说明： ______ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）

1在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA.

3BCcos2A的值； （1）求sin22（2）若a3，求bc的最大值.

16．（本小题满分14分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.

（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

17．（本小题满分14分）

某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？ 18．（本小题满分14分）

某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地北 各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D

西 算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

11，路段CD发生堵车事件的概率为． 58（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E.

19．（本小题满分12分）

31111已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x[,]时,f(x).

62428 （1）求a的值； （2）设0a111,an1f(an),nN.证明an. 2n1

20．（本小题满分13分）

CD，已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、设AB、CD的中点分别为M，N

（1）求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标．

（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．