5.3代数系统的同态与同构模板

讲课时间

十一周

第 2 次课

讲课章节

5.3 代数系统同态和同构

任课老师及职称

唐新华
讲师

教学方法和手段

板书和电子课件结合

课时安排

2 课时

使用教材和关键参考书

1、教材：
耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2.参考书

左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文件版）

教学和目标要求：
了解子代数和积代数基础概念

教学关键、难点:
关键：子代数和积代数基础概念和性质
难点：子代数和积代数性质

www.taodocs.co教学内容:

同态映射定义
同态映射分类
单同态、满同态、同构
自同态
同态映射性质
二、教学内容
同态映射定义
定义设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中∘和是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) =
f(x) f( y), 则称 f 为V1 到 V2 同态映射，简称同态.

x, y∈Z 有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n  (y)mod n
= f(x)  f(y)
同时，f(0)= 0
同态映射保持运算算律
设V1,V2 是代数系统. o,∗是V1 上二元运算，o’,∗’是V2 上对应二元运算，假如 f： V1V2 是同态，
那么
(1)若o 运算是可交换（可结合、幂等），则o’运算也是可交换（可结合、幂等）.
(2) 若o 运算对∗运算是可分配，则o’运算对∗’运算也是可分配；若o 和∗运算是可吸收，
则 o’和∗’运算也是可吸收。
同态映射保持运算特异元素
(3) 若e 为o 运算幺元，则 f(e)为o’运算幺元.
(4) 若为o 运算零元，则 f() 为o’运算零元.
(5) 设 uV1，若 u1 是 u 相关o 运算逆元，则 f(u1)
是 f(u)相关o’运算逆元。
同态映射性质
例题
f(1)=0. 于是有f(1)+f(1) = f((1)(1))= f(1)=0从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这和 f 单射性矛盾. 证假设 f 是 V2 到 V1 同构，那么有f：V2→V1，
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设 V=<Zn,>，能够证实恰有 n 个G 自同态， fp：Zn→Zn,
fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n1

下次课预习关键点：
习题课
6.1 半群和群
6.1.1 半群独异点和群通常概念
6.1.2 元素阶
6.1.3 群性质

实施情况及教学效果分析:

院系部审核意见:
院系部责任人签字