计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of computer science(计算机科学的数学基础)，也就是理论计算机科学。原来在东方大学城图书馆中曾经看过一本七十年代的译本(书皮都没了，可我就爱关注这种书)，大概就叫《计算机数学》。那本书若是放在当时来讲决是一本好书，但现在看来，涵盖的范围还算广，深度则差了许多，不过推荐大一的学生倒可以看一看，至少可以使你的计算数学入入门。
最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么?答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。(这一点在前面的那本书中也有体现)传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变函数，实变函数，泛函数等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。
随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的问题解决方案是连续的，因而微分，积分成为基本的运算;而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。
离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：
1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。
2) 图论，算法图论;组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是
算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3) 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。
但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗?一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。D.E.Knuth(他有多伟大，我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义：
首先：对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体”的数学。在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题公理系统的各种性质之类。而一些具体集合
的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。其次，Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学，都是有用的数学!
理论与实际的结合——计算机科学研究的范畴
前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。想搞搞这方面的工作，推荐看中国计算机学会的一系列书籍，至少代表了我国的权威。下面随便举一些例子。
由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论)，代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这样的理解太浅显了。
现代密码学至少包含以下层次的内容：
第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗?能否有一般的工具证明协议正确?
第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。
第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。
第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。
在分布式系统中，也有很多重要的理论问题。例如，进程之间的同步，互斥协议。一个经典的结果是：在通信信道不可靠时，没有确定型算法能实现进程间协同。所以，改进TCP三次握手几乎没有意义。例如时序问题。常用的一种序是因果序，但因果序直到不久前才有一个理论上的结果例如，死锁没有实用的方法能完美地对付。例如操作系统研究过就自己去举吧!
如果计算机只有理论，那么它不过是数学的一个分支，而不成为一门独立的科学。事实上，在理论之外，计算机科学还有更广阔的天空。