2020年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷+解析

数学试卷

姓名________________准考证号考生须知考场号座位号1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试试卷120分钟。2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．右图是某几何体的三视图，该几何体是（（A）圆柱（C）三棱锥【考点】三视图【解析】长方体的三视图都是长方形，故选：D．2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（（A）0.36105【考点】科学记数法【解析】36000用科学记数法表示为3.6104，故选：C．3．如图，AB与CD相交于点O，则下列结论正确的是（（A）12（C）x0【考点】几何导角【解析】AD和BC相交于点O，∠1和∠2互为对顶角，故∠1=∠2，故选：A．（B）23（D）25

））（B）3.6105

（C）3.6104

（D）36103

）（B）圆锥（D）长方体第1页/共18页4．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）【考点】轴对称图形；中心对称图形【解析】A选项，等腰三角形是轴对称图形；B选项，既不是轴对称图形又不是中心对称图形；C选项，平行四边形是中心对称图形；D选项，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：D．5.正五边形外角和为（（A）180

【考点】多边形外角和【解析】任意多边形外角和都为360°，故选：B．6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足aba，则b的值可以是（））（B）360

（C）540

（D）720

（A）2【考点】数轴；相反数（B）1（C）2（D）3

【解析】由a在数轴上的位置可知，a到原点的距离小于2，故a2，b满足aba，故b到原点的距离一定小于2，故选：B．7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（（A）14）（C）12（B）13（D）23【考点】概率【解析】由题意可知，共4种情况：1+1；1+2；2+1；2+2；满足条件的共有2种，故选：C．8.有一个装水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（（A）正比例函数关系（C）二次函数关系）（B）一次函数关系（D）反比例函数关系第2页/共18页【考点】函数关系【解析】由题知水面高度以0.2cm/s的速度匀速增加，而且水面初始高度为10cm，故容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系即h0.2t10，故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式1有意义，则实数x的取值范围是x7.【考点】代数式有意义：分式【解析】只有分式的分母不为0，分式才有意义，令x70，则x7，故填：x7.10.已知关于x的方程x22xk0有两个相等的实数根，则k的值是【考点】一元二次方程根的情况【解析】该一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式44k0，所以k1，故填：1．11.写出一个比2大且比15小的整数是【考点】实数估算【解析】由题意，设该整数为aa0，得2a15，则2a215，而在2到15之间的平方数只有4和9，则a2或a3，所以答案不唯一，故填：2或3其中一个即可．..xy1

12.方程组的解为3xy7

【考点】二元一次方程组.x2

【解析】用加减消元法，消掉y，得出x2，将其代入任意一个方程可得y1，故填：．y1

13.在平面直角坐标系xOy中，直线yx与双曲线y标分别为y1，y2，则y1y2的值为.m交于A，B两点.若点A，B的纵坐x【考点】反比例函数与正比例函数交点问题；中心对称【解析】正比例函数yx与反比例函数交点关于原点对称，则两个交点的横纵坐标均互为相反数，故填：0．14.如图，在△ABC中，ABAC，点D在BC上(不与点B，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是(写出一个即可).第3页/共18页【考点】全等三角形的判定【解析】由ABAC可得BC，则加上D为BC中点、ADBC或者AD平分BAC都可以，如：因为D为BC中点，所以BDCD,ABAC,ADAD，则△ABD≌△ACDSSS，故填：BDDC．15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABCS△ABD(填“”，“”或“”).【考点】平行线等积变换【解析】连结CD，根据图形可知ACDBAC，所以AB//CD，则△ABC和△ABD是以AB为底边长，高均是平行线间距离的两个三角形，可得S△ABC=S△ABD．第4页/共18页16.下图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序【考点】分类讨论；统筹规划【解析】①甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为：2，3，4，5；②每人根据顺序购票座位号之和最小；③必须购买第一排相邻座位的票；④丙第一个购票；由下表可得，一共六种情况。其中只有四种符合题意：第一次购票及座次丙（1.2.3.4）丙（1.2.3.4）丙（1.2.3.4）丙（1.2.3.4）丙（1.2.3.4）丙（1.2.3.4）第二次购票及座次甲（5.7）甲（5.7）乙（5.7.9）乙（5.7.9）丁（5.7.9.11.13）丁（5.7.9.11.13）第三次购票及座次乙（6.8.10）丁（6.8.10.12.14）甲（6.8）丁（6.8.10.12.14）甲（6.8）乙（6.8.10）第四次购票及座次丁（无法选座次）乙（9.11.13）丁（无法选座次）甲（11.13）乙（10.12.14）甲（12.14）.故填：丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲或丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲中的任意一种即可．第5页/共18页三、解答题(本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1

17.计算：+18+26sin45o3

【考点】实数计算【解析】解：原式=3+32+232-1=5

5x32x18.解不等式组：2x1x23【考点】解不等式组【解析】解：解①式得，x1

解②式得，x2

此不等式组的解集为1x2

19.已知5x2x10，求代数式3x23x2xx2的值．【考点】化简求值【解析】解：原式9x24x22x

=10x22x45x2x105x2x110x22x2

原式242

20.已知：如图，ABC为锐角三角形，ABAC，CD∥AB.求做：线段BP，使得点P在直线CD上，1且ABP=BAC2作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C,P两点；②连接BP，线段BP就是所求线段第6页/共18页（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：∵CD∥AB∴ABP∵ABAC∴点B在A上.又∵点C,P都在A上1∴BPCBAC（21∴ABP=BAC2.）（填推理依据）.【考点】尺规作图；推理证明【解析】解：（1）如图所示（2）BPC；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．21.如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EFAB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD10,EF4，求OE和BG的长【考点】四边形综合【解析】解：（1）证明如下：四边形ABCD为菱形点O为BD中点点E为AD中点OE为△ABD的中位线OE//FGOG//EF

第7页/共18页四边形OEFG为平行四边形EFABEFG90

平行四边形OEFG为矩形（2）点E为AD中点,AD10

AE1AD52EFA90，EF4在Rt△AEF中，AFAE2EF252423四边形ABCD为菱形ABAD10

OE1AB52四边形OEFG为矩形FGOE5

BGABAFFG10352

22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxb(k0)的图象由函数yx的图象平移得到，且经过点(1,2).（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x1时，对于x的每一个值，函数ymx(m0)的值大于一次函数ykxb的值，直接写出m的取值范围.【考点】一次函数【解析】解：（1）一次函数ykxb(k0)且由yx平移得到k1

将点(1,2)代入yxb可得b1

一次函数的解析式为yx1

（2）当x1时，函数ymx(m0)的函数值都大于yx1，即图象在yx1

上方，由下图可知：第8页/共18页临界情况为当x1时，两条直线都过点(1,2)，代入ymx(m0)得m2

当x1，m2时，ymx(m0)的函数值都大于yx1

当m2时，上述结论也成立，所以m的取值范围为m2

23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OFAD于点E，交CD于点F.（1）求证：ADCAOF；1（2）若sinC,BD8，求EF的长.3【考点】圆综合【解析】解：（1）证明：如图，连接ODCD是O的切线ODCD

ADCODA90OFAD

AOFDAO90OAODODADAOADCAOF

（2）设O半径为r在Rt△OCD中，sinCOD1OC313ODr,OC3rOBr，BCOCOB4r

第9页/共18页AB为O的直径ADB90OE//BD

OEOA1BDAB21842OEOFOC3r3BDBC4r438641x(x2x1)(x2).6OFEFOFOE2

24.小云在学习过程中遇到一个函数y下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当2x0时，对于函数y1x，即y1x，当2x0时，y1随x的增大而对于函数y2x2x1，当2x0时，y2随x的增大而，且y10；，且y20；.结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当2x0时，y随x的增大而（2）当x0时，对于函数y，当x0时，y与x的几组对应值如下表：x00121161163271621529548372······y结合上表，进一步探究发现，当x0时，y随x的增大而增大，在平面直角坐标系xOy中，画出当x0时的函数y的图象.第10页/共18页（3）过点0,mm0作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y1xx2x1x2的图象有两个交点，则m的最大值是6.【考点】新函数探究【解析】解：（1）减小，减小，减小（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可（3）7

31|x|x2x1x26令x2时，代入y1172y|2|221，y27，y66325．小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：第11页/共18页b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日10011日至20日17021日至30日250平均数（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月________倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾2222分出量的方差为s2，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s3．直接写出s12，s2，s3

的大小关系．【考点】统计【解析】解：（1）平均数为：10010170102501030取整为173（2）173602.9倍（3）方差反映数据的波动情况，即散点图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：S12S22S32

520173.3，所以结果326．在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2为抛物线yax2bxca0上任意两点，其中x1x2．第12页/共18页（1）若抛物线的对称轴为x1，当x1，x2为何值时，y1y2c；（2）设抛物线的对称轴为xt．若对于x1x23．都有y1y2，求t的取值范围．【考点】代数综合【解析】解：（1）抛物线必过0,c，因为y1y2c，所以点M，N关于直线x1对称，又x1x2，x10，x22（2）情形1：当x2x1t时，点M，N均在xt右侧，故y1y2恒成立情形2：当x1x2t时，点M，N均在xt左侧，则y1y2恒不成立情形3：当x1t，x2t时，对称轴在点M，N之间，要y1y2，必有x1x23t，2t3，t2227.在△ABC中，C90，ACBC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF.（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AEa,BFb，求EF的长（用含a,b的式子表示)；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系，并证明.【考点】几何综合【解析】解：（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点DE为△ABC的中位线DE//BCC90DEC90

第13页/共18页DFDEEDF90

四边形DECF为矩形DECF1BC21AC2BFCF

DFCEEFDE2DF2a2b2（2）方法一：倍长中线延长FD至G，使DGDF，连接EG，AG，∵D是AB的中点，∴DADB，又DGDF，ADGBDF

易证△ADG≌△BDF，AGBF，GADFBD，AG//BF

则AGEA，由DFDG，且EDGF∴EGEF

由勾股定理，AE2AG2GE2AE2BF2EF2

方法二：倍长中线延长ED至G，使DGDE，连接GF，BG∵D是AB的中点，∴DA=DB，又∵DG=DE，∠ADE=∠BDG易证△ADE≌△BDG，AEBG，第14页/共18页EADDBG，∴AE∥BG，则BGBF，又DEDG，且DFEG，EFFG

∴在Rt△BGF中，由勾股定理得，BG2BF2FG2，AE2BF2EF2

方法三：构造中位线连接AF，取EF中点M，AF中点N，连接MN，DM，DN∵MN为△AEF的中位线，1

MN∥AE且MN=AE，2∵DN为△ABF的中位线1BF，2ND∥BF且ND又ECBF，ACF90CAFAFC90

MNACAF,ANDAFCANDMNA90MNDN，又EDF90，DM1EF，2在Rt△DMN中，由勾股定理MN2DN2DM2111AEBFEF222

即证AE2BF2EF2

28．在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A，B为O外两点，AB1．给出如下定义：平移线段AB，得到O的弦A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”．222第15页/共18页（1）如图，平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是________；在点P连接点A与点________的线段的长度等于线段AB到O1，P2，P3，P4中，的“平移距离”；（2）若A，B都在直线y3x23上，记线段AB到O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；3（3）若点A的坐标为2,，记线段AB到O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．2【考点】新定义【解析】解：（1）平行，P3（2）如图，线段AB平移得到弦A'B'A'B'1，O的半径r1△A'OB'为等边三角形当AA'垂直直线AB时，此时，线段AA'的长度即为线段AB到O的“平移距离”，直线与x轴交点为(-2，0)，直线与x轴夹角为60d1=323（3）①如下图所示，点B的轨迹是以A2,为圆心，半径r1的圆；由2第16页/共18页（1）可知，AB平移后在O内部总会有两条平行弦，有图像观察可知，当AAAA时，AA为平移距离d2的最大值，且同时有OA//ABOA//AB3A2,，25OA，2延长AO交AA于点C，则ACAA，过点O作ODABACOD113，OCAB，222ACAOCO3

在Rt△AAC中，AA2AC2AC2，393AAACAC+32=22222②如下图所示，此时AA为平移距离d2的最小值，5533A2,，OA，O半径r1，AA1，2222第17页/共18页综上，32d2392特此申明，本套试卷原题来源于网络，感谢分享。试卷答案与解析编写教师如下：主编：学而思中考研究院负责人张小柏老师学而思初三数学负责人刘梦云老师审核：魏巍老师张小柏老师01-16题学而思中考研究院项毅新老师姚伟莉老师17-25题学而思中考研究院方晗老师张小柏老师26题学而思中考研究院郜鸿飞老师邱梦老师27题学而思中考研究院李弈老师刘梦云老师28题学而思中考研究院张影老师张小柏老师第18页/共18页郜鸿飞老师邱梦老师邱梦老师