西工大与西安交大期末复习考研备考大学物理题库 十一、几何光学 34 几何光学

一、选择题(共1题)

选择题：一束平行于光轴的光线，入射到抛物面镜上，反射后会聚于焦点F，如图所示．可以断定这些光线的光程之间有如下关系：（） A 、 [A1P1F][A2P2F][OP0F]． B 、 [A1P1F][A2P2F][OP0F]． C 、 [A1P1F][A2P2F][OP0F]．

D、 [OP0F]最小，但不能确定[A1P1F]和[A2P2F]哪个较小． 题目图片：

A1A2OFP1P2P0答案：B 难度：易

二、填空题(共23题)

填空题：两平面镜，镜面垂直相交．在和上述两镜面都垂直的平面内，一条光线以任一入射角，投射到两镜之一的镜面上，经两镜反射后，反射出来的光线，它的传播方向将在________________________________的方向上．

答案：与入射光线反向平行 3分 难度： 易

填空题：调整读数显微镜看清楚一平面上的某点后，在平面上覆盖一厚玻璃片，要再看清楚此点，必须将显微镜镜头提高1 mm．已知玻璃片的折射率为1.5 ，则玻

璃片的厚度必定是__________mm．

答案：3 3分 难度：中

填空题：一竖立的10 cm厚的玻璃板，折射率为1.5 ，观察者的眼睛离玻璃板10 cm

远，沿板法线方向观察板后10 cm处的一个小物体，则看到它离眼睛的距离是

____________cm．

答案：26.7 3分 难度：中

填空题：费马原理可用下面的说法来表述：光线由空间的一点进行到另一点时，实际传播路径的总光程同附近的路径比起来，不是_________________________，便是__________________，或者______________．

答案：最小 1分；最大 1分； 相同 1分（答出以上三点就得3分，与次序无关） 难度：易

填空题：平面镜成像的关系可以看作是球面镜成像关系的一种特殊情形，条件是只要球面镜的焦距______________即可．

答案：等于无穷大 3分 难度：易

填空题：有一凹球面镜，曲率半径为20 cm，如果把小物体放在离镜面顶点6 cm处，则像在镜__________________cm处，是______像．（正或倒）

答案：后15（或-15） 2分；正 1分 难度：易

填空题：有一凸球面镜，曲率半径为20 cm．如果将一点光源放在离镜面顶点14 cm 远处，则像点在镜______________cm处，是________像．（实或虚）

答案：后5.8(或-5.8) 2分； 虚 1分 难度：易

填空题：设凸球形界面的曲率半径为10 cm，物点在凸面顶点前20 cm处，凸面前的介质折射率n1 = 1.0 ，凸面后的介质折射率n1 = 2.0 ．则像的位置在凸面顶点

______________处，是__________像．（实或虚）

答案：后40 cm 2分； 实 1分 难度：易

填空题：设凹球形界面的曲率半径是10 cm，物点在凹面顶点前15 cm处，凹面前的介质折射率n1 = 2.0 ，凹面后的介质折射率n2 = 1.0 ．则像的位置在凹面顶点

______________处，是__________像．（实或虚）

答案：前30 cm 2分； 虚 1分 难度：易

填空题：有一凸球面镜，曲率半径为40 cm，物体放在离镜面顶点20 cm处，物高是4 cm，则像高为______________cm，是______像．（正或倒）

答案：2 2分； 正 1分 难度：中

填空题：一个物点P经球形（半径为r）界面折射成像点Q的公式，当r→∞，就

成为一个物点P经平面界面折射成像点Q的公式

nq2p n1是物点p所在介质的折射率，n2是界面另一边介质的折射率，p是物

n1距，q是像距，式中负号表示____________________________，这一式子的成立也应满足________________________要求．

答案：像与物的虚、实相反 2分； 小角度近似（或傍轴近似） 3分 难度：中

填空题：一薄透镜的焦距f = -20 cm．一物体放在p = 30 cm处，物高h0 = 5 cm．则 像距q = __________cm，像高hi = __________cm．

答案：-12 2分； 2 1分 难度：易

填空题：一个双凸薄透镜，由折射率为1.50的玻璃制成．这个透镜的一个表面的曲率半径为其另一个表面的曲率半径的两倍．透镜的焦距为10 cm．则这个透镜两

表面中，曲率半径较小那个等于______________cm．

答案： 2.5 3分 难度：易

填空题：已知折射率n = 1.50的对称薄透镜，其表面的曲率半径为12 cm，若将其浸没于折射率n′= 1.62的CS2液体中，则它的焦距f = ________cm．

答案：-81 3分 难度：易

填空题：一照相机的透镜采用两个薄透镜胶合而成．一个是焦距为10 cm的凸透镜，另一个是焦距为15 cm的凹透镜．那么这一复合透镜的焦距为________cm． 答案：30 3分

难度：易

填空题：一薄透镜对物体的横向放大率m = _________________，m值的正或负表示像的____________________．

答案：-( q / p ) 2分； 正或倒 1分 难度：易

填空题：发光体与光屏相隔一固定距离D．今将焦距为f的会聚透镜先后放在物体与光屏之间的适当的两个位置上，这透镜将在光屏上分别产生实像．则透镜所在的两个位置相距d = __________________．

答案：D(D4f) 3分

难度：中

填空题：一发光点与屏幕相距为D．则可将光点经透镜的光会聚于屏上一点的透镜的最大焦距等于__________．

答案：D / 4 3分 难度：中

填空题：将开普勒型天文望远镜倒过来可作激光扩束装置．设有一个这种类型望远镜，其物镜焦距为30 cm，目镜焦距为1.5 cm，则它能使激光束（看作平行光束） 的直径扩大__________倍．

答案： 20 3分 难度：中

填空题：一薄凸透镜，其焦距为20 cm，有一点光源P置于透镜左方离镜30 cm之轴上，在透镜右方离透镜50 cm处置一光屏，以接收来自P发出而经过透镜的光．光屏与镜轴垂直，光屏上受光部分具有一定形状和大小．现将光屏移至另一位置， 使受光部分的形状和大小与前相同，则此时光屏与透镜的距离为__________ cm．

答案：70 3分 难度：中

填空题：一台显微镜，物镜焦距为4 mm．中间像成在物镜像方焦点后面160 mm处，如果目镜是20X的，则显微镜的总放大率是_________倍．

答案： 800 3分 难度：中

填空题：一块厚透镜系统光轴上的六个基点是指

______________________________，若透镜两边是同一种媒质，那么___________________________________________将会重合．

答案：两个焦点，两个主点和两个节点 2分；两个节点分别与两个主点 2分 难度：易

填空题：在傍轴的区域内，一厚透镜第一主平面是指__________________________________________所构成的平面；类似的，

第二主平面是指_______________________________构成的平面．

答案：通过物方焦点的入射光线与相应的平行于光轴的出射光线（延长线）的交点；2分

平行于光轴的入射光线与相应的指向像方焦点的出射光线（延长线）的交点 2分 难度：易

三、计算题(共5题)

计算题：远处物点发出的平行光束，投射到一个实心的玻璃球上．设玻璃的折射率为n，球的半径为r．求像的位置．

答案：

解：设平行光束由玻璃球的左边入射，经球的前表面折射成像， p1 = ∞

nn1nr∴ ， q1 q1rn1前表面折射所成的像，将作为球的后表面的物．由于球的前后面相隔2r远， p22rq1 2分

n11n∴

2rq1q2r12(n1)(n2)r ， q2 q2(n2)r2(n1)(n2)r像在球的右侧，离球的右边  处 3分

2(n1)

难度：中

计算题：一架幻灯机的投影镜头的焦距为7.5 cm．当屏幕离镜头8 m远时呈清晰图像．现将屏幕拉至10 m远处，镜头须改变多少位置才能再呈清晰图像？ 答案：

111 解： q1 = 8 m远时：

p1q1f

fq1 ① q1f111 当 qq1q10 m远时

p1pq1qf得 p1得 p1p

f(q1q) ② 2分

q1qf②式减①式得 pf(q1q)fq1 = - 0.014 cm

q1qfq1f负号表明投影镜头需移近幻灯片 0.014 cm距离 3分

难度：中

计算题：一薄透镜组，L1的f1 = -30 cm，L2的f2 = +20 cm．两镜间的距离d = 10 cm．求透镜组L2一侧的焦点与L2的距离q2和L1一侧的焦点与L1的距离q1． 答案：

f(df1)解：透镜组的 q22= 40 cm 3分

d(f1f2)

q1f1(df2)= 15 cm 2分

d(f1f2)难度：中

计算题：一块凹平薄透镜，凹面的曲率半径为0.5 m，玻璃的折射率为1.5 ，且在平表面上涂有一反射层．在此系统左侧主轴上放一点物P，P离凹透镜1.5 m，求最后成像的位置，并说明像的虚实． 题目图片：

P C n = 1.5 0.5 m 1.5 m

答案：

解：设凹平薄透镜的焦距为f

111(n1)()1m1，f1 m 2分 fr1r2已知物距 p = 1.5 m，设经凹平薄透镜第一次成像后的像距为q1

111111， pq1fq1fp q10.6m．在透镜左方，是虚像． 2分

此虚像经平面反射层反射后，又成虚像于反射层右方 0.6 m处． 2分 再经凹平薄透镜第二次成像，设像距为q2（这时透镜右方为物方，左方为像方）

111111， p2q2fq2fp2q20.375m．

∴最后成像的位置在透镜和反射层右方0.375 m处， 2分 是虚像． 2分 难度：较难

计算题：一个双凸薄透镜，两表面的曲率半径均为20 cm，透镜材料的折射率为n2 = 1.50．此透镜嵌在水箱的侧壁上，一面的媒质是水，其折射率为n1 =1.33，另一面是空气，折射率为n3 = 1.00．试问：平行光束从水中沿光轴方向入射到透镜上，光束会聚的焦点离透镜多远？平行光束从空气入射，会聚点又离透镜多远？ 答案：

解：已知水、玻璃、空气的折射率分别为n1、n2、n3，如图所示．

从水中入射时，两折射球面的光焦度分别是 1(n2n1)/r10.85 m-1 2(n2n3)/r22.5 m-1

因是薄透镜，所以总光焦度为 123.35 m-1 3分 像方焦距 fn3/30 cm 3分

从空气中入射时，仍不变（是系统的性质，与入射方向无关）. 2分 但是这时像方焦距 fn1/40 cm 2分 答案图片：

n1n2O1n3O2水空气

难度：中

四、理论推导与证明题(共12题)

理论推导与证明题：如图所示．三棱镜顶角为A，对入射单色光的折射率为n．已知当光线对称地通过棱镜时，偏向角达到最小值 0．试证此时

1sin[(A0)]2 n 1sin(A)2题目图片：

A0i1BM i1Ni2n i2C

答案：

i2A 证：按图示 i1i2 当光线对称地通过棱镜时 i11A ① 3分 ∴ i12i2i2 其次，同图中还可以看出 i1i1i2 在最小偏向角的情况下 i1i2，i1 ∴ 02i12i11代入①式 02i1A 或 i1(0A) ② 4分

2sini1而 n

sini1

1sin[(A0)]2代入②和①，即得 n 3分 1sin(A)2难度：中

理论推导与证明题：如图所示，设光导纤维玻璃芯和透明包层的折射率分别为nf和nc（nf > nc），垂直端面外媒质的折射率为na．试证明，能使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角1满足下式

2 nasin1n2fnc

（nasin1称为纤维的数值孔径）． 题目图片：

nc1na12nf

答案：

证：根据折射定律 nasin1nfsin1nfcos2nf1sin22 因为光线在玻璃芯和包层界面上发生全反射的条件为

sin2≥nc / nf 2分

∴ 欲使光线在纤维内发生全反射，1必须满足

nasin1≤nf1(nc/nf)2

2故数值孔径 nasin1n2fnc 3分

难度：中

理论推导与证明题：试根据费马原理导出折射定律． 答案：

证：如图所示，设Oxz平面上方的折射率为n1，下方折射率为n2．A、B两点在Oxy平面内．光线从A传播到B．由费马原理知，光线的实际路径必定在Oxy平面内（因为不在此平面内的路径上光程都大于在Oxy平面的投影路径的光程．）

3分

设光线的路径为ACB，则光程

22 Ln1ACn2CBn1x2yA 3分 n2(xBx)2yB由费马原理，光程应取极值，即

n1xn2(xBx)dL

2222dxxyA(xBx)yB n1sini1n2sini20 3分 从而得 n1sini1n2sini2 1分

上面已说明光线的实际路径在平面内，故有入射线与折射线与C点法线在同一平面内．这就是折射定律． 答案图片：

yA(0, yA,0)i1n1xOzC(x,0,0)i2n2B(xB, yB,0)

难度：较难

理论推导与证明题： 试根据费马原理，导出光的反射定律． 答案： 证：如图所示：A与B是两个固定点．由A来的光线在P点处反射之后通过B点．问题是如何依照费马原理确定P点的位置，使经过P点的光线APB的总光程 nl = nl1 + nl2 为最小、或最大、或保持不变．假设P点的法线、入射光线、反射光线都处于同一平面内，由于反射光回到原介质，所以也就是使APB的总长度 la2x2b2(dx)2 ① 2分 为最小、或最大、或保持不变．在任一情况下，都要求 dl / dx = 0． 求①式导数，

使等于零，整理得

x22axb(dx)由图（a）可知 sinsin

即  ③ 3分 找出B的镜像点B′，连接AB′，交镜面于P，连接PB．APB即为符合③式条件的光线．对反射面上任何其他P点，APPB 都与APPB 相等，但显然当APB 是直线时，这一值最小, 所以满足上述条件的APB是最小长度. 可见, P 点法线、入射光线和反射光线都处于同一平面上的假定是正确和必要的. 3分 ③式和P点法线、入射光线及反射光线在同一平面内即是反射定律. 2分

答案图片：

dx22 ②

AnBbABal1′l2x-dxPd图(a)′P图(b)B′

难度：较难

理论推导与证明题： 试用费马原理导出点光源傍轴光线经单个折射球面的成像公式． 答案：

证：如图所示，从物点P发出的光线经球面折射后交于像点P．光线PMP的光程为

LnPMnMP

n、n′分别是两种介质的折射率．由△MOC得

h2r2(rd)22rdd2

于是 h2d22rd 2分 由△P MO′得出 PM[(sd)2h2]1/2 将上式代入后展开，得到

(rs)d(rs)2d2] PM(s)[124s2s同理，由△ MO′P′得到

(rs)d(rs)2d2] 3分 MP(s)[124s2s因P′为P的像，根据费马原理，P和P′之间的各条光线的光程应相等，即 nPMnMPn(s)ns 2分 在傍轴条件下，d < | s |、s′、r，略去二阶微量得出

(rs)d(rs)dn(s)[1]ns[1]n(s)ns

s2s2

化简后得到 n/sn/s(nn)/r 3分 （若用物点在左时物距s为正值的符号规定，则得 n/sn/s(nn)/r 同样给分．） 答案图片：

PMnhrn′P′OO′cd-ss′

难度：难

理论推导与证明题：试导出点光源对两种透明介质间凸的球形界面经折射成像的

公式，并指明其成像的近似条件． 答案：

证：假定n2 > n1．如图所示，P为物点，Q为像点，C是界面的球心，r为半径，O为界面的顶点．p是物点到顶点的距离，q是像点到顶点的距离．

从图可以看出： 1 =  +  ①  = 2 +  ② 入射点到轴线的垂线的高y可以表示为 y = p tg = q tg  = r sin

对于小角度我们有 p = q = r ③ 2分 而小角度下的近似的折射定律

n11 = n22 ④ 1分 从①、②、③、④式消去所有角度，即可获得

nnnn1 122

pqr公式成立条件是小角度，亦即所谓傍轴近似． 2分 答案图片：

n11PpOyn2r2CQq

难度：中

理论推导与证明题： 设一物点放在球面镜主轴上与镜面相距p处, 它的像点与镜面相距为q. 当该物点沿球面镜主轴方向移动微小距离dp时, 像点相应地移动dq,

dq)称为球面镜的纵向放大率. 求证球面镜的纵向放大率是横向放大率的平则(dp 方． 答案：

111 1分 pqfdpdqdqq)()2 3分 两边取微分得 220， (dpppqq而球面镜的横向放大率 m 2分

p证：由球面镜的成像公式

∴ (难度：中

dqq)()2m2 2分 dpp

111叫做薄透镜成像公式的高斯形式．这个公pqf式的另一个形式，即牛顿形式中，对物距与像距作如下的考虑：令物体到第一焦

点的距离为x，而从第二焦点到像的距离为x′．求证： xxf2 答案：

证：按题意可知 pxf 1分 qxf 1分

111 代入高斯公式

xfxff(xf)(xf)(xf)f(xf)f

理论推导与证明题： 公式

简化后即得牛顿公式 xxf2 3分

难度：易

理论推导与证明题： 两个薄透镜L1、L2组成的共轴系统，如图所示．试证这个光学系统： (1) 从第一焦点或物方焦点到第一个表面的顶点的距离，

f(df2)即 ： fv1

d(f1f2) (2) 从最后一个表面的顶点到整个系统的第二焦点的距离，

f(df1)即： fv2

d(f1f2)题目图片：

L1L2Ｃ1PF1 f1 p1F1F2 p2 f2Ｃ2F2Q q1 d q2

答案：

证：如果让q2→∞， 则p2→f2， 而从图中可以看出

q1dp2

代入 p2→f2， 则 q1→d - f2 3分

111 又对L1我们有 p1f1q1当 q2→∞， q1→d - f2，

d(f1f2)111有

f1(df2)p1qf1df22

p1的这个值就是fv fvf1(df2) 3分

d(f1f2)

p2f2(dq1)f2

p2f2dq1f2如果让p1→∞， 则 q1→f1，这时的q2就是fv

类似地 q2 fvf2(df1) 4分

d(f1f2)难度：中

理论推导与证明题：把焦距分别为f1与f2的两个薄透镜，放置得互相接触．求证：

111这两个薄透镜等效于一个单独的薄透镜，其焦距由下式给出 ． ff1f2答案：

111 ① p1q1f1111 ② p2q2f2证：当两个薄透镜分别使用：

现将这两个薄透镜放置成同轴接触使用，此时前一透镜的像将成为后一透镜的物，

但它们之间的虚、实要相差一个符号，即

p2q1 ③ 2分

把③式代入②，再①＋②， 则得

1111 p1q2f1f2111 做为等效的单独薄透镜

p1q2f

比较可知

111 3分 ff1f2难度：中

理论推导与证明题：测量一个正透镜焦距的方便方法是利用下述事实：如果一对共轭的物点和实像（P和Q）的距离为L > 4f，那么透镜将有两个位置（其距离为d），在这两个位置上得到同一对共轭点．证明

L2d2 f

4L答案：

111证：根据透镜成像公式  ①

pqf按题意 pqL ②

111 从①、②式消去q得 pLpfLL24Lf解p得 p1，p2 3分

2dp1p2L24Lf

d2L24Lf

L2d2∴ f 2分

4L难度：中

理论推导与证明题：试从单球面折射成像的公式，导出薄透镜成像的公式． 答案：

证：假定制成薄透镜的介质的折射率为n2，其前后介质的折射率为n1，在傍轴近似的条件下，对物光遇到的第一个球面，折射成像的公式是

nnnn1 122 ① 3分

p1q1r1r1是球面的半径，p1、q1为物距、像距．符号规则是这样的：

物点在实物的一边，p为正，否则为负； 像在实物的另一边，q为正，否则为负； 曲率中心在实物的另一边，r为正，否则为负．

由第一个球面折射成的像将构成对第二个球面的物．薄透镜是指透镜厚度非常小，以致与其它线量相比时可以略去不计．因而，如果对第一个球面的像距q1为正，则相应成第二个球面的物距p2将为负，反之亦然．所以有

p2q1 ② 2分 经第二个球面折射成像的式子为

nnnn2 211 ③ 2分

p2q2r2①、②、③式联立，消去q1、p2，并以p、q代替p1、q2，得

n1111 (21)()

pqn1r1r2n111(21)() 令 fn1r1r2111则得薄透镜的成像公式  3分

pqff为透镜焦距． 难度：中

五、回答问题(共5题)

回答问题 ：据费马原理，光从一点传播到另一点，一般是沿着所需时间为极值的路径传播的．试举出传播时间为极大值的一个例子． 答案：

答：设有一回转椭球面C，A、B分别是它的两个焦点．一凹面镜M与椭球内切于P点，从A发出的光经M反射传播到B，如图所示．

因M上除P点外，其它点P都处在椭球内，由椭球面的性质可知： APPBAPPB

即光程 [ APB ]比附近其他路径都要大．光线APB是符合反射定律的，APB不符合反射定律，因此经P点反射的光不能到达B点．由

上分析，光传播的路径APB为极大值，可知沿APB传播的时间为极大值． 5分 注：此解只是其一，举出其它例子也同样得分． 答案图片：

PP′ABMC

难度：较难

回答问题 ：一凹球面镜，曲率半径为40 cm，一小物体放在离镜面顶点10 cm处．试作图表示像的位置、虚实和正倒，并计算出像的位置． 答案：

答：作图表示： 3分

计算像的位置：

1R 20 cm 2111 

pqf解出 q = -20 cm

负号表示像在镜面后． 2分 答案图片： Q fP C F O p q

难度：中

回答问题 ：高为h0的物体，在焦距f < 0的薄透镜左侧，放置在p > | f |的位置．试用作图法表示像的位置，实、虚（虚光线），放大还是缩小，正立还是倒立．并用文字指明． 答案：

答：答案见图 3分 虚像、缩小、正立． 2分 答案图片： h0 F hi q p F

难度：易

回答问题 ：高为h0的物体，在焦距f > 0的薄透镜左侧，置于0 < p < f的位置．试用作图法表示像的位置，实、虚（虚光线），放大还是缩小，正立还是倒立．并用文字指明． 答案：

答：答案见图 3分 虚像、放大、正立． 2分 答案图片：

hi F h0 F? p q

难度：易

回答问题 ：某人对2.5 m以外的物看不清楚，需要配多少度的眼镜？ 答案：

答：对 2.5 m以外的物看不清，是为近视眼，应配发散透镜，使无穷远处之物成像于 2.5 m处，这相当于此发散透镜的焦距为

f = - 2.5 m 3分 商品度数 难度：中

10.4， 屈光度= - 40 度 2分 f