中学数学求解最值问题的方法探寻

作者：韦玉球，刘立明

来源：《教育教学论坛》 2014年第49期

韦玉球1，刘立明2

（1.广西外国语学院，广西南宁530022；2.广西师范学院，广西南宁530023）

摘要：中学数学中求函数、几何的最值是研究函数与几何性质的一个极其重要的方面，尽管其严格的理论指导需要借助高等数学知识，但由于它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛、训练思维能力的效果显著，所以在高考和数学竞赛中占有相当重要的地位。而配方法、均值不等式法、数形结合思想、单调性、判别式法、导数法、复数法、换元法以及线性规划等都是求解数学最值问题的常用思想，它们不仅对于勾通代数，几何与三角的内在联系具有指导意义，而且更重要的是对发展学生的创造性思维。完善学生的思维品质有着特殊的作用。本文对最值问题的某些解法作了综合归纳，对加强知识的横纵关系和有机联系提出了一些建议。

关键词：代数与几何；最值问题；解题方法

中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）49-0203-03

基金项目：广西研究生教育创新计划资助项目（JGY2014092）；2012年度新世纪广西高等教育教学改革工程A类项目（2012JGA162）；2014年校级教学方法改革专项立项项目；2014年广西师范学院新增博士授权教育学学科建设资助校级科研项目作者简介：韦玉球（1981-），女，广西都安人，研究生，研究方向：数学教育。

通讯作者：刘立明。

数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。

一、通过配方求最值

这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。

四、利用函数单调性求最值

先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。

1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]，则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。

评注：判别式法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数，当x的范围是R时，仅考虑Δ即可，当x的范围非R时，还需要结合图形另解不等式，不能扩大y的取值范围。

六、利用换元法求最值

所谓换元就是变量替换，是指把一个数学式子中的某一些以另一些与此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较为简单或易于解决的化归过程，其实质是数集到数集的映射化归。主要有三角换元和代数换元两种，用换元时要特别注意中间变量的取值范围。

是数集到数集的映射化归。主要有三角换元和代数换元两种，用换元时要特别注意中间变量的取值范围。

评注：换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。

七、结语

近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析几何等知识的交汇点处命题，注重知识之间的交叉、渗透和综合性。求函数的最值时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法。一般优先考虑配方法、数形结合法、函数单调性法和基本不等式法，然后再考虑其他各种特殊方法。在以上介绍的方法中，最简单的方法是配方法和单调性法，最重要的方法是基本不等式法。总之，以上各种方法需要灵活应用，有些题目可用多种方法，只有熟练掌握各种方法才能在解题中做到得心应手，根据具体的题目选择最好的方法。

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