顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A．1

B．2

C．3 ﹣

D．4

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2

2． 已知双曲线

关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．1＜e＜

B．e＞

C．e＞

D．1＜e＜

3． “x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4 4． 在三角形A．

中，若B．

C．

，则

的大小为（ ）

D．

1，则|MN|（ ） 2A．10 B．180 C．63 D．65

5． 过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为6． P是双曲线

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2

C．c

的内切圆圆心的横坐标为（ ） A．a

A．充分不必要条件

B．b

B．必要不充分条件

7． “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）

D．a+b﹣c

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8． 设=（1，2），=（1，1），=+k，若A．﹣

B．﹣

C．

，则实数k的值等于（ ）

D．

2＋ai

9． 设a，b∈R，i为虚数单位，若＝3＋bi，则a－b为（ ）

1＋iA．3 C．1

B．2 D．0

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精选高中模拟试卷

xy20y10．已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）

xxy70A．[,6] B．(,][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

11．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（ ） A．{5} B．{1，2，5}

C．{1，2，3，4，5} D．∅

12．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） A．1

B．

C．

D．

9595二、填空题

13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60角；④DM与BN是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．

14．若(mxy)展开式中xy的系数为160，则m__________．

633【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 15．已知（1+x+x2）（x

n+

）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．

16．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ． 17．已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．

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、C（1，0），函数y=xf（x）（0

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318．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

2三、解答题

19．在（1）求（2）若

20．已知函数g（x）=f（x）+（1）求实数a的值；

（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b

21． 定圆M:(x3)y16,动圆N过点F(3,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E. （Ⅰ）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）设点A,B,C在E上运动，A与B关于原点对称，且ACBC,当ABC的面积最小时，求直线AB的方程.

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22中，、、是 角的大小; ，

、、所对的边，是该三角形的面积，且

，求的值。

﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．

，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

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22．AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1， ∠SDC=120°．如图，在几何体SABCD中，又SD=2，（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；

（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

23．已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

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24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB的中点．

（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1； （II）求证：EF∥平面B1BCC1； （III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．

，E，F分别是A1C1，

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顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

2． 【答案】B

【解析】解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO=设直线PF1：y=

=

c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

（x+c），

22222222

代入双曲线方程，可得，（3b﹣a）x﹣2cax﹣ac﹣3ab=0，

则方程有两个异号实数根，

222222

则有3b﹣a＞0，即有3b=3c﹣3a＞a，即c＞

a，

则有e=＞故选：B．

3． 【答案】B

．

【解析】解：不等式x﹣4x＜0整理，得x（x﹣4）＜0

2

∴不等式的解集为A={x|0＜x＜4}，

因此，不等式x﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，

2

对应的x范围应该是集合A的真子集．

2

写出一个使不等式x﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2，

故选：B．

4． 【答案】A

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【解析】 由正弦定理知则有

答案：A

5． 【答案】D 【解析】

，所以

，不妨设，故选A

，

，

，

考点：1.斜率；2.两点间距离. 6． 【答案】A

【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q， 则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同． 由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a． ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，

∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a． 故选A．

由圆的切线性质PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．

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7． 【答案】A

【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}， ∵A⊊B，

故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件． 故选A．

【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．

8． 【答案】A

【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1）， ∴=+k=（1+k，2+k） ∵

，∴ =0，

∴1+k+2+k=0，解得k=﹣ 故选：A

【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．

9． 【答案】

2＋ai

【解析】选A.由＝3＋bi得，

1＋i

2＋ai＝（1＋i）（3＋bi）＝3－b＋（3＋b）i， ∵a，b∈R，

2＝3－b∴，即a＝4，b＝1，∴a－b＝3（或者由a＝3＋b直接得出a－b＝3），选A. a＝3＋b

10．【答案】A 【解析】

B(1,6)，试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2第 8 页，共 17 页

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考点：简单的线性规划的非线性应用． 11．【答案】B

【解析】解：∵CUA={1，5}

∴B∪（∁UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B．

12．【答案】C

【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为

．

．

＜1，故C不可能．

是解题的关键．

因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为

因此可知：A，B，D皆有可能，而故选C．

【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为

二、填空题

13．【答案】③④ 【解析】

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试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接AN,AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC为等边三角形，所以AN,AC所成的角为60，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．

考点：空间中直线与直线的位置关系． 14．【答案】2

33【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．

315．【答案】 5 ．

【解析】二项式定理． 【专题】计算题．

n+12

）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x

n+

）（n∈N）的通项公式讨论即可．

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

【解答】解：设（x

）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

n

+

当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；

n

+

当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；

n

+

n

+

2

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

题意；

2

n

+

当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x

2

）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6； ）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；

n

+

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当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．16．【答案】 D ．

【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为： A→B→C→A→D→B→A→C→D→A

接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为9．

∵质点经过2015次运动， 2015=223×9+8， ∴质点到达点D． 故答案为：D．

【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．

17．【答案】

【解析】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2

．

∴f（x）=

∴y=xf（x）=

y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=

+x2）故答案为：

=

+=

+

=x3

+（﹣

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18．【答案】2

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

32对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

2则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

三、解答题

19．【答案】

【解析】 解

：

（

1

）

由

得

，即 （2）

20．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=x+alnx， ∴f′（x）=1+，

∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直， ∴k=f′（x）|x=1=1+a=2， 解得a=1．

2

（2）∵g（x）=lnx+x﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解， 即x++1﹣b＜0有解，

，x＞0，

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∵定义域x＞0， ∴x+≥2， x+＜b﹣1有解，

只需要x+的最小值小于b﹣1， ∴2＜b﹣1，

解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．

2

（3）∵g（x）=lnx+x﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解， x1+x2=b﹣1，x1x2=1，

2

∵x＞0，设μ（x）=x﹣（b﹣1）x+1，

，x＞0，

22

则μ（0）=[ln（x1+x1﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x2﹣（b﹣1）x2]

=ln=ln=ln

+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2） +（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2） ﹣（

﹣

），

∵0＜x1＜x2， ∴设t=

，0＜t＜1，

令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1， 则h′（t）=﹣（1+

）=

＜0，

∴h（t）在（0，1）上单调递减，

2

又∵b≥，∴（b﹣1）≥

，

由x1+x2=b﹣1，x1x2=1， 可得t+≥

，

2

∵0＜t＜1，∴由4t﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，

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∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=故g（x1）﹣g（x2）的最小值为

﹣2ln2，

﹣2ln2．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．

21．【答案】 【解析】（Ⅰ）

F(3,0)在圆M:(x3)2y216内，圆N内切于圆M.

NMNF4FM,点N的轨迹E为椭圆，且2a4,c3,b1 x2轨迹E的方程为y21. .........4分 4（Ⅱ）①当AB为长轴（或短轴）时，此时SABC1OCAB2. ...5分 2②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为ykx， x2244k24(1k2)2y12222,yA,OAxAyA. 联立方程4得xA22214k14k14kykx4(1k2)12. 将上式中的k替换为，得OC2k4kSABC2SAOC4(1k2)4(1k2)4(1k2)OAOC.9分 222214kk4(14k)(k4)2(14k2)(k24)5(1k2)8(14k)(k4),SABC， 225222当且仅当14kk4，即k1时等号成立，此时ABC面积最小值是8. 5882,ABC面积最小值是，此时直线AB的方程为yx或yx. 12分 5522．【答案】

【解析】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，

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分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠SDC=120°， ∴∠SDE=30°，

又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为则有D（0，0，0），

（1）设平面SAB的法向量为∵则有得

，取，又

，

， ．

，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．

，

．

设SC与平面SAB所成角为θ， 则

故SC与平面SAB所成角的正弦值为（2）设平面SAD的法向量为∵则有∴

，取

，得

，

．

．

，

，

．

，

故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是

【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．

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23．【答案】

【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）， 要使函数有意义，则 由

解得：﹣1＜x＜1．

＜1得：1＜

＜10，

由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg∵x+1＞0，

∴x+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴由

． ，得：

．

（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，

∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x）， 由单调性可知y∈[0，lg2]，

y

又∵x=3﹣10，

∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．

24．【答案】

x

【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 所以，BB1⊥BC．

又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B， 所以，BC⊥平面A1ABB1． 因为BC⊂平面BCE，

所以，平面BCE⊥平面A1ABB1． 因为E，F分别是A1C1，AB的中点， 所以，FD∥AC且

．

（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．

因为AC∥A1C1且AC=A1C1， 所以，FD∥EC1且 FD=EC1． 所以，四边形FDC1E是平行四边形．

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所以，EF∥C1D．

，AB⊥BC

．

．

又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1， 所以，EF∥平面B1BCC1． （III）解：因为所以，

过点B作BG⊥AC于点G，则

因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1 所以，平面A1ACC1⊥底面ABC． 所以，BG⊥平面A1ACC1． 所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积

．

【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

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