高三数学导数求解
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发布时间：2022-04-20 05:03
共2个回答
热心网友
时间：2023-06-22 05:45
不要看下面的文字，看下面的图片。
一、解答
令m-2=t，f^' (x)=2x-8+a/x=(2x^2-8x+a)/x，若f(x)有两个极值点，那么函数g(x)=2x^2-8x+a必须要有两个实数根，又因为定义域为(0,+∞)，所以必须是两个正实根。根据求根公式得x_1=(8-√(-8a))/4>0，那么就有{█(∆=-8a>0@x_1>0)┤⇒a∈(0,8)。又有{█(x_1+x_2=4@x_1 x_2=a/2@x_1<x_2 )┤⇒{█(0<x_1<2@a=2x_1 (4-x_1))┤。
则原式变为(2x_1 lnx_1)/(1-x_1 )-t(x_1+1)>0⇒x_1/(1-x_1 ) [2lnx_1+t(x_1^2-1)/x_1 ]>0。若要满足题意设h(x)=2lnx+t(x^2-1)/x，则在x_1∈(0,1)上，h(x)>0，在(1,2)上，h(x)>0。且易知h(1)=0。那么就是说在(0,2)上，h(x)单调递减。h^' (x)=(tx^2+2x+t)/x^2 。
(1)t≥0时h^' (x)≥0，则不满足题意；
(2)当t<0时，∆=4-4t^2。
①∆>0⇒-1<tt>1，且h^' (1)>0，社很小一段区间(1,a)，那么在该区间内是单增的，不满足题意。
②∆≤0⇒t≤-1时，h^' (x)≤0，即h(x)在(0,2)上单调递减，满足题意。
而t=m-2，则m∈(-∞,1]。
二、如有疑问可追问。
热心网友
时间：2023-06-22 05:45
f'(x)=2x-8+a/x
x=1是极大值，说明x=1,f'（1）=0,
并且两边一个大于0，一个小于0
2-8+a=0
a=6,
两边大小是否符合你可以自己带数字计算
f'(x)=2x-8+a/x=(2x^2-8x+a)/x
△=-4*2a>0
a<8
x1<x2
x1=[8-√（8（8-a）]/4
x1+x2=4,x1x2=a/2
所以a=2x1x2=2x1(4-x1)
因为等式成立，所以lnx1中的x1>0
所以0<x1<x2
带入，得到a>0
所以0<a<8,
原式=[2x1(4-x1)lnx1]/(1-x1)>(m-2)(x1+1)(4-x1)
2x1lnx1/(1-x)-(m-2)(x1+1)>0
x1/(1-x1)[2lnx1-(m-2)(x1+1)(1-x1)/x1]>0
x1/(1-x1)[2lnx1+(m-2)(x1^2-1)/x1]>0
令t=(m-2)
x1/(1-x1)[2lnx1+t(x1^2-1)/x1]>0
0<x1<1时，前面的x1/(1-x1)>0所以后面那堆也大于0，
x1>1时，前面的x1/(1-x1)<0所以后面那堆也小于0
令g(x)=2lnx+t(x^2-1)/x1
所以g(x)是单调递减的
g'(x)=2/x1 +[2tx^2-t(x^2-1)]/x^2
g'(x)=(tx^2+2x+t)/x^2
所以函数tx^2+2x+t的最大值小于等于0,
函数开口只能向下
t<0,对称轴是x=-b/2a=-1/t,带入，
可得(1/t^2)*t-2/t+t=t-1/t<=0
t<=1/t,
t<=0
所以t^2>=1
所以t<=-1
m-2<=-1
m<=1
