设实二次型f=xTAx的秩为2，α1=（1,0,0）T....
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发布时间：2022-04-23 18:48
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时间：2023-10-13 15:54
已知a1=(0,1,1)T是齐次方程组Ax=0的基础解系；
所以 n-r(A) = 1；
所以 R(A) = n-1 = 3-1 = 2。
实二次型（real quadratic form)是一类重要的二次型，指实数域上的二次型，任意实二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通过实满秩线性代换化为形如y1+…＋yp-yp+1-…－yr的标准形。
这种标准形称为实二次型f的规范型或正规型，其中r是f的秩，正平方项个数p称为f的正惯性指数，负平方项个数q=r-p称为f的负惯性指数，s=p-q称为f的符号差，实二次型的正、负惯性指数是惟一确定的，此称为实二次型的惯性定律，亦称惯性定理。
此定理由西尔维斯特（J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比（C.G.J.Jacobi)也发现并证明了这个定理。
两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数（或有相同的秩与符号差）。
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时间：2023-10-13 15:55
(1) 由已知 α1 是A的属于特征值2的特征向量
α2 是A的属于特征值6的特征向量
由于R(A)=2, 所以 0 是A 的特征值, 且属于0的特征向量α3=(x1,x2,x3)^T与 α1,α2正交
所以有
x1=0
-x2+x3=0
所以 α3 = (0,1,1)^T
所以A的特征值为 2,6,0
属于它们的全部特征向量分别为 k1α1,k2α2,k3α3, k1,k2,k3 不为0
(2) 将α1,α2,α3单位化构成矩阵P=
1 0 0
0 -1/√2 1/√2
0 1/√2 1/√2
则 X=PY是正交变换, 且 f = 2y1^2+6y2^2.
(3) A = Pdiag(2,6,0)P^-1 =
2 0 0
0 3 -3
0 -3 3
所以 f = 2x1^2+3x2^2+3x3^3 - 6x2x3.
