什么是抛物线?
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抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
定义
平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外
,
F
称为"抛物线的焦点",
l
称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。
编辑本段标准方程
抛物线的标准方程有四个：
抛物线
右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=—2px
上开口抛物线:x^2=2py
下开口抛物线:x^2=—2py
p为焦准距（p>0）
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2；
在抛物线y^2=—2px
中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2；
在抛物线x^2=2py
中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2；
在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；
编辑本段相关参数
(对于向右开口的抛物线)
离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)
通径：2P
；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦
定义域（X≥0）
值域（Y∈R)
编辑本段解析式求法
以焦点在X轴上为例
知道P（x0,y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
编辑本段光学性质
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。
编辑本段面积和弧长公式
抛物线
面积
Area=2ab/3
弧长
Arc
length
ABC
=√(b^2+16a^2
)/2+b^2/8a
ln((4a+√(b^2+16a^2
))/b)
编辑本段其他
抛物线：y
=
ax^2
+
bx
+
c
（a≠0)
就是y等于ax
的平方加上
bx再加上
c
a
>
0时开口向上
a
<
0时开口向下
c
=
0时抛物线经过原点
b
=
0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y
=
a（x-h）^2
+
k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是
：yy0=p(x+x0)
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)
准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px
y^2=-2px
x^2=2py
x^2=-2py
编辑本段对称性解题
我们知道，抛物线y
=
ax^2
+
bx
+
c
(
a
≠0
)是轴对称图形，它的对称轴是直线x
=
-
b/
2a
，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。
例1
已知抛物线的对称轴是x
=1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
分析
设抛物线的解析式为y
=
ax^2
+
bx
+
c
。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x
=1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y
=
a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3
=
-3a。故a
=-1。
∴y
=
-（x+1）（x-3），即
y
=
-
x^2
+
2x
+3。
例2
已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x
=0时y的值。
分析
要求当x
=0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x
=
1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y
=
a（x-1）2+
6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a
+
6
=
2。故a
=
-1。
∴y
=
-(x-1)^2+
6，即
y
=
-
x^2
+
2x
+5。
∴当x
=0时，y
=
5。
例3
已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。
分析
要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x
=
-1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y
=
a（x+1）^2+
4[或y
=
a（x+3）（x-1）]。
∵点（1，0）在抛物线上，
∴4a
+
4
=
0。∴a
=
-1。
∴y
=
-（x+1）2+
4，即
y
=
-
x2
-
2x
+3。
∴点C的坐标为（0，3）。
∴S△ABC
=
1/2×（4×3）=
6。
例4
已知抛物线y
=
ax2
+
bx
+
c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2
+
bx
+
c
=0的两个根，求四边形ABCD的面积。
分析
要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x
=
1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y
=
a（x-1）2+
4[或y
=
a（x+1）（x-3）]。
∵点（-1，0）在抛物线上，
∴4a
+
4
=
0。故a
=
-1。
∴y
=
-(x-1)^2+
4，即
y
=
-
x^2
+
2x
+3。
∴点B的坐标为（0，3）。
连结OA
，则S四边形ABCD
=
S△BOC
+
S△AOB
+
S△AOD
=
1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9
编辑本段相关结论
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
①
x1*x2
=
p^2/4
,
y1*y2
=
—P^2
②
焦点弦长：|AB|
=
x1+x2+P
=
2P/[(sinθ)^2]
③
（1/|FA|）+（1/|FB|）=
2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
⑤焦半径：|FP|=x+p/2
（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
编辑本段定*题
例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。
解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：
|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|
所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1
故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）
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平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
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抛物线的定义
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。通俗点来说，你投篮的时候，篮球走过的路径就叫抛物线。
抛物线的特点
一个最高点
镜像对称
对称的点速度相同
表达式
y=ax^2+bx+c
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平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
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把某个物体扔出去所形成的一条线叫抛物线
