线性空间中的坐标变换和线性变换是什么关系啊
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发布时间：2022-04-26 08:37
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时间：2022-06-25 22:03
我手上的一本《矩阵论》中并没有坐标变换的准确定义.百度百科中有坐标变换在几何范畴的意义，其所述的平移、旋转等这些坐标变换应该属于特殊的线性变换(旋转变换就是一正交变换)。
不过我想您所问的坐标变换应该与基变换有关。即某n维空间中的一个向量α在两组不同基{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}下的坐标(X与Y)与两组基的基变换矩阵C的关系：X=CY。
这与线性变换的公式Y=AX很相似。
不过它们的意义是完全不同的，前者的X、Y是同一个向量在两组基下的坐标；后者的X、Y是一个向量它本身(α)和它经过线性变换后的向量(T(α))在同一个基下的坐标。前者的C矩阵是不变的，只与{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}两组基有关；后者的矩阵A与给定基有关，在另一组基下线性变换矩阵也要变化（B=C逆AC）。
可以说，这个意义上坐标变换和线性变换是没有太大关系的。套用物理的说法就是一个是物体位置姿态发生了变化，一个是参考坐标系发生的改变。
打个比方,自然基下，x轴单位向量坐标X=(1,0,0)T。使它绕Z轴转90度，变成Y=(0,-1,0)T，这是线性变换，线性变换矩阵为A=[0
1
0;
-1
0
0;
0
0
1],Y=AX。x轴单位向量在自然基下坐标X=(1,0,0)T，在{β1=(0,1,0)T,β2=(-1,0,0)T,β3=(0,0,1)T}下的坐标为Y=(0,-1,0),基变换矩阵为C=[0
-1
0;
1
0
0;
0
0
1],
X=CY。如果再考虑{β1,β2,β3}下的线性变换,变换矩阵B=C逆AC=[0
1
0;
-1
0
0;
0
0
1]（这个例子有点特殊，B=A）。
上面的例子中的线性变换是一个旋转变换，所以也是几何意义上的坐标变换。
不知我对于问题的理解是否正确。
