直线L:y=kx+1与椭圆C:ax 2 +y 2 =2(a>1)交于A、B两点,以OA、OB为邻边...
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发布时间：2024-10-23 22:10
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时间：2024-10-27 20:10
（1）联立 y=x+1 a x 2 + y 2 =2 ，得：（1+a）x 2 +2x-1=0，
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =- 2 1+a x 1 x 2 =- 1 1+a ，
∴y 1 y 2 =（x 1 +1）（x 2 +1）=x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+1= a-2 a+1 ，
∵四边形OAPB为矩形，∴OA⊥0B，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =（- 2 1+a ）+ a-2 a+1 =0，
解得a=4．（6分）
（2）联立 y=kx+1 2 x 2 + y 2 =2 ，
得：（2+k 2 ）x 2 +2kx-1=0，
∵以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，
设P（x，y），设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
∴x 1 +x 2 =- 2k 2+ k 2 ，y 1 +y 2 =（kx 1 +1）+（kx 2 +1）=k（x 1 +x 2 ）+2= 4 k 2 +2 ，
∴ x =x 1 + x 2 = -2k 2+ k 2 y= y 1 + y 2 = 4 k 2 +2 ，∴k=- 2x y ，
∴P点的轨迹方程为2x+ky=0．（12分）
