若a1 =4 an=an-1 + 4n [n大于等于2】 【1】求an [2]求数列【1/an】的...
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发布时间：2024-10-23 22:57
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时间：2024-11-09 16:59
【<>内为下标】
【原题为：
若a1
=4,
an=a<n-1>
+
4n
[n大于等于2]
【1】求an 【2】求数列{1/an}的前项和
解：
【1】.
an=a<n-1>
+
4n
，[n大于等于2]
则此时有：
an-a<n-1>
=4n ，
a<n-1>-a<n-2> =
4(n-1)
，
……
a3-a2=4×3，
a2-a1=4×2，
上面式子左右两边分别相加得到：
an-a1=4[2+3+……+(n-1)+n] ,
【
[
]内为首项为b1=2,公差d=1的前(n-1)项和】
an-4=2
n²
+2n-4,
整理得到an=2
n²
+2n，
经检验a1亦符合此式，
则an=2
n²
+2n。
【2】.
对于数列{1/an},
1/an=1/(2
n²
+2n)
=(1/2){1/[n(n+1)]}
=(1/2)[1/n
-
1/(n+1)]。
数列{1/an}的前项和
Un=a1+a2+……+a<n-1>+an
=(1/2)[1/1
-
1/(1+1)]
+
(1/2)[1/2
-
1/(2+1)]+……+(1/2)[1/(n-1)
-
1/n]+(1/2)[1/n
-
1/(n+1)]
=(1/2){
[1/1
-
1/(1+1)]
+
[1/2
-
1/(2+1)]+……+[1/(n-1)
-
1/n]+[1/n
-
1/(n+1)]
}
=(1/2){
[1/1
-
1/(n+1)]
}
=n/[2(n+1)].
即
数列{1/an}的前项和
Un
=n/[2(n+1)].
(1/2){1/[n(n+1)]}
=
