已知函数 ,以点 为切点作函数图像的切线 ,直线 与函数 图像及切线...
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已知函数 ，以点 为切点作函数图像的切线 ，直线 与函数 图像及切线 分别相交于 ，记 ．
（1）求切线 的方程及数列 的通项；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ． （1）切线 的方程为 ，数列 的通项公式为 ；（2）详见试题解析．
试题分析：（1）由导数的几何意义，先对函数 求导，求导函数 在 处的函数值，即得切线的斜率，最后由直线的点斜式方程即可求得切线 的方程，进一步结合已知条件可得 的坐标，由两点间的距离公式可得数列 的通项；（2）首先写出数列 的前 项和 的表达式，根据数列 通项公式的结构特征选择裂项相消法求和 ，进而可证明不等式 ．
试题解析：（1）对 求导，得 ，则切线 方程为： ，即 ，易知 ， ，
由 知 = ．
（2） = = ， = = = ＜1. 项和的求法（裂项相消法）；3．数列不等式的证明．
